MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdiveq Unicode version

Theorem prmdiveq 14316
Description: The modular inverse of is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1
Assertion
Ref Expression
prmdiveq

Proof of Theorem prmdiveq
StepHypRef Expression
1 simprr 757 . . . . . . . 8
2 prmdiv.1 . . . . . . . . . . 11
32prmdiv 14315 . . . . . . . . . 10
43adantr 465 . . . . . . . . 9
54simprd 463 . . . . . . . 8
6 simpl1 999 . . . . . . . . . 10
7 prmz 14221 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9
9 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11
10 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
129, 11zmulcld 11000 . . . . . . . . . 10
13 1z 10919 . . . . . . . . . 10
14 zsubcl 10931 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancl 662 . . . . . . . . 9
164simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
17 elfzelz 11717 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11
199, 18zmulcld 11000 . . . . . . . . . 10
20 zsubcl 10931 . . . . . . . . . 10
2119, 13, 20sylancl 662 . . . . . . . . 9
22 dvds2sub 14016 . . . . . . . . 9
238, 15, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . . . 8
241, 5, 23mp2and 679 . . . . . . 7
2512zcnd 10995 . . . . . . . . 9
2619zcnd 10995 . . . . . . . . 9
27 1cnd 9633 . . . . . . . . 9
2825, 26, 27nnncan2d 9989 . . . . . . . 8
299zcnd 10995 . . . . . . . . 9
30 elfznn0 11800 . . . . . . . . . . . 12
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
3231nn0red 10878 . . . . . . . . . 10
3332recnd 9643 . . . . . . . . 9
3418zcnd 10995 . . . . . . . . 9
3529, 33, 34subdid 10037 . . . . . . . 8
3628, 35eqtr4d 2501 . . . . . . 7
3724, 36breqtrd 4476 . . . . . 6
38 simpl3 1001 . . . . . . 7
39 coprm 14241 . . . . . . . 8
406, 9, 39syl2anc 661 . . . . . . 7
4138, 40mpbid 210 . . . . . 6
4211, 18zsubcld 10999 . . . . . . 7
43 coprmdvds 14243 . . . . . . 7
448, 9, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . 6
4537, 41, 44mp2and 679 . . . . 5
46 prmnn 14220 . . . . . . 7
476, 46syl 16 . . . . . 6
48 moddvds 13993 . . . . . 6
4947, 11, 18, 48syl3anc 1228 . . . . 5
5045, 49mpbird 232 . . . 4
5147nnrpd 11284 . . . . 5
52 elfzle1 11718 . . . . . 6
5352ad2antrl 727 . . . . 5
54 elfzle2 11719 . . . . . . 7
5554ad2antrl 727 . . . . . 6
56 zltlem1 10941 . . . . . . 7
5711, 8, 56syl2anc 661 . . . . . 6
5855, 57mpbird 232 . . . . 5
59 modid 12020 . . . . 5
6032, 51, 53, 58, 59syl22anc 1229 . . . 4
61 prmuz2 14235 . . . . . . . . 9
62 uznn0sub 11141 . . . . . . . . 9
636, 61, 623syl 20 . . . . . . . 8
64 zexpcl 12181 . . . . . . . 8
659, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . 7
6665zred 10994 . . . . . 6
67 modabs2 12030 . . . . . 6
6866, 51, 67syl2anc 661 . . . . 5
692oveq1i 6306 . . . . 5
7068, 69, 23eqtr4g 2523 . . . 4
7150, 60, 703eqtr3d 2506 . . 3
7271ex 434 . 2
73 1e0p1 11032 . . . . . . . 8
7473oveq1i 6306 . . . . . . 7
75 0z 10900 . . . . . . . 8
76 fzp1ss 11760 . . . . . . . 8
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7
7874, 77eqsstri 3533 . . . . . 6
7978sseli 3499 . . . . 5
80 eleq1 2529 . . . . 5
8179, 80syl5ibr 221 . . . 4
82 oveq2 6304 . . . . . . 7
8382oveq1d 6311 . . . . . 6
8483breq2d 4464 . . . . 5
8584biimprd 223 . . . 4
8681, 85anim12d 563 . . 3
873, 86syl5com 30 . 2
8872, 87impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701   cmo 11996   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  14317  modprminveq  14327  wilthlem1  23342  wilthlem2  23343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-phi 14296
  Copyright terms: Public domain W3C validator