Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Unicode version

Theorem prmreclem1 14434
 Description: Lemma for prmrec 14440. Properties of the "square part" function, which extracts the of the decomposition N= 2, with maximal and squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1
Assertion
Ref Expression
prmreclem1
Distinct variable groups:   ,   ,,N   Q,

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3584 . . 3
2 breq2 4456 . . . . . . 7
32rabbidv 3101 . . . . . 6
43supeq1d 7926 . . . . 5
5 prmreclem1.1 . . . . 5
6 ltso 9686 . . . . . 6
76supex 7943 . . . . 5
84, 5, 7fvmpt 5956 . . . 4
9 nnssz 10909 . . . . . . 7
101, 9sstri 3512 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 1nn 10572 . . . . . . . 8
1312a1i 11 . . . . . . 7
14 nnz 10911 . . . . . . . 8
15 1dvds 13998 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
17 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
18 sq1 12262 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
2019breq1d 4462 . . . . . . . 8
2120elrab 3257 . . . . . . 7
2213, 16, 21sylanbrc 664 . . . . . 6
23 ne0i 3790 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
25 nnz 10911 . . . . . . . . . . 11
26 zsqcl 12238 . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10
28 id 22 . . . . . . . . . 10
29 dvdsle 14031 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 29syl2anr 478 . . . . . . . . 9
31 nnlesq 12271 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10
33 nnre 10568 . . . . . . . . . . . 12
3433adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3534resqcld 12336 . . . . . . . . . . 11
36 nnre 10568 . . . . . . . . . . . 12
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11
38 letr 9699 . . . . . . . . . . 11
3934, 35, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
4032, 39mpand 675 . . . . . . . . 9
4130, 40syld 44 . . . . . . . 8
4241ralrimiva 2871 . . . . . . 7
43 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4443breq1d 4462 . . . . . . . 8
4544ralrab 3261 . . . . . . 7
4642, 45sylibr 212 . . . . . 6
47 breq2 4456 . . . . . . . 8
4847ralbidv 2896 . . . . . . 7
4948rspcev 3210 . . . . . 6
5014, 46, 49syl2anc 661 . . . . 5
51 suprzcl2 11201 . . . . 5
5211, 24, 50, 51syl3anc 1228 . . . 4
538, 52eqeltrd 2545 . . 3
541, 53sseldi 3501 . 2
55 oveq1 6303 . . . . . 6
5655breq1d 4462 . . . . 5
5744cbvrabv 3108 . . . . 5
5856, 57elrab2 3259 . . . 4
5953, 58sylib 196 . . 3
6059simprd 463 . 2
6154adantr 465 . . . . . . . 8
6261nncnd 10577 . . . . . . 7
6362mulid1d 9634 . . . . . 6
64 eluz2b2 11183 . . . . . . . . 9
6564simprbi 464 . . . . . . . 8
6665adantl 466 . . . . . . 7
67 1red 9632 . . . . . . . 8
68 eluz2nn 11148 . . . . . . . . . 10
6968adantl 466 . . . . . . . . 9
7069nnred 10576 . . . . . . . 8
7161nnred 10576 . . . . . . . 8
7261nngt0d 10604 . . . . . . . 8
73 ltmul2 10418 . . . . . . . 8
7467, 70, 71, 72, 73syl112anc 1232 . . . . . . 7
7566, 74mpbid 210 . . . . . 6
7663, 75eqbrtrrd 4474 . . . . 5
77 nnmulcl 10584 . . . . . . . 8
7854, 68, 77syl2an 477 . . . . . . 7
7978nnred 10576 . . . . . 6
8071, 79ltnled 9753 . . . . 5
8176, 80mpbid 210 . . . 4
8210a1i 11 . . . . . 6
8350ad2antrr 725 . . . . . 6
8478adantr 465 . . . . . . 7
85 simpr 461 . . . . . . . . 9
8669adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8786nnsqcld 12330 . . . . . . . . . . 11
88 nnz 10911 . . . . . . . . . . 11
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . 10
9054nnsqcld 12330 . . . . . . . . . . . . . 14
919, 90sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . 13
9290nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . 13
93 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . . . . 13
9491, 92, 14, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
9560, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
9791ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
98 dvdscmul 14010 . . . . . . . . . 10
9989, 96, 97, 98syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
10085, 99mpd 15 . . . . . . . 8
10162adantr 465 . . . . . . . . . 10
10286nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
103101, 102sqmuld 12322 . . . . . . . . 9
104103eqcomd 2465 . . . . . . . 8
105 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
10790ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
108107nncnd 10577 . . . . . . . . 9
10992ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
110106, 108, 109divcan2d 10347 . . . . . . . 8
111100, 104, 1103brtr3d 4481 . . . . . . 7
112 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
113112breq1d 4462 . . . . . . . 8
114113elrab 3257 . . . . . . 7
11584, 111, 114sylanbrc 664 . . . . . 6
116 suprzub 11202 . . . . . 6
11782, 83, 115, 116syl3anc 1228 . . . . 5
1188ad2antrr 725 . . . . 5
119117, 118breqtrrd 4478 . . . 4
12081, 119mtand 659 . . 3
121120ex 434 . 2
12254, 60, 1213jca 1176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2`c2 10610   cz 10889   cuz 11110   cexp 12166   cdvds 13986 This theorem is referenced by:  prmreclem2  14435  prmreclem3  14436 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987
 Copyright terms: Public domain W3C validator