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Theorem prmreclem3 14436
Description: Lemma for prmrec 14440. The main inequality established here is M {xe.M|(Q`x)=1} N, where is the set of squarefree numbers in . This is demonstrated by the map |-><. (Q` ) 2,(Q` )>. where Q` is the largest number whose square divides . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1
prmrec.2
prmrec.3
prmrec.4
prmreclem2.5
Assertion
Ref Expression
prmreclem3
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,M,   , ,   Q, , ,   ,N,

Proof of Theorem prmreclem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12082 . . . . . 6
2 prmrec.4 . . . . . . 7
3 ssrab2 3584 . . . . . . 7
42, 3eqsstri 3533 . . . . . 6
5 ssfi 7760 . . . . . 6
61, 4, 5mp2an 672 . . . . 5
7 hashcl 12428 . . . . 5
86, 7ax-mp 5 . . . 4
98nn0rei 10831 . . 3
109a1i 11 . 2
11 2nn 10718 . . . . . 6
12 prmrec.2 . . . . . . 7
1312nnnn0d 10877 . . . . . 6
14 nnexpcl 12179 . . . . . 6
1511, 13, 14sylancr 663 . . . . 5
1615nnnn0d 10877 . . . 4
17 prmrec.3 . . . . . . . 8
1817nnrpd 11284 . . . . . . 7
1918rpsqrtcld 13243 . . . . . 6
2019rprege0d 11292 . . . . 5
21 flge0nn0 11954 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
2316, 22nn0mulcld 10882 . . 3
2423nn0red 10878 . 2
2515nnred 10576 . . 3
2619rpred 11285 . . 3
2725, 26remulcld 9645 . 2
28 ssrab2 3584 . . . . . . 7
29 ssfi 7760 . . . . . . 7
306, 28, 29mp2an 672 . . . . . 6
31 hashcl 12428 . . . . . 6
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5
3332nn0rei 10831 . . . 4
3422nn0red 10878 . . . 4
35 remulcl 9598 . . . 4
3633, 34, 35sylancr 663 . . 3
37 fzfi 12082 . . . . . . 7
38 xpfi 7811 . . . . . . 7
3930, 37, 38mp2an 672 . . . . . 6
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
414, 40sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 elfznn 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4544prmreclem1 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049nnsqcld 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5343nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5551, 52, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5647, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5957, 58jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6260, 61jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
63 divgt0 10435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6459, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6543, 50, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
66 elnnz 10899 . . . . . . . . . . . . . . 15
6756, 65, 66sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14
6867nnred 10576 . . . . . . . . . . . . 13
6943nnred 10576 . . . . . . . . . . . . 13
7017nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . 14
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
72 dvdsmul1 14005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7356, 51, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
7443nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7550nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7674, 75, 52divcan1d 10346 . . . . . . . . . . . . . . 15
7773, 76breqtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . 14
78 dvdsle 14031 . . . . . . . . . . . . . . 15
7956, 43, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
8077, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
81 elfzle2 11719 . . . . . . . . . . . . . 14
8241, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8368, 69, 71, 80, 82letrd 9760 . . . . . . . . . . . 12
84 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . 14
8567, 84syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13
8617nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
88 elfz5 11709 . . . . . . . . . . . . 13
8985, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
9083, 89mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
91 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493, 2elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
9540, 94sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
9695simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
9777adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
99 prmz 14221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10256adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10353adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104 dvdstr 14018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105101, 102, 103, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
10697, 105mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14
107106con3d 133 . . . . . . . . . . . . 13
108107ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . 12
10996, 108mpd 15 . . . . . . . . . . 11
110 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
111110notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
112111ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . 12
113112, 2elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11
11490, 109, 113sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
11544prmreclem1 14434 . . . . . . . . . . . . 13
116115simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12
11767, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11
118115simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15
11967, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
120 elnn1uz2 11187 . . . . . . . . . . . . . 14
121119, 120sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
122121ord 377 . . . . . . . . . . . 12
12344prmreclem1 14434 . . . . . . . . . . . . 13
124123simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12
12543, 122, 124sylsyld 56 . . . . . . . . . . 11
126117, 125mt4d 138 . . . . . . . . . 10
127 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
128127eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11
129128elrab 3257 . . . . . . . . . 10
130114, 126, 129sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
13150nnred 10576 . . . . . . . . . . . . . 14
132 dvdsle 14031 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13351, 43, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
13447, 133mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
135131, 69, 71, 134, 82letrd 9760 . . . . . . . . . . . . 13
13671recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . 14
137136sqsqrtd 13270 . . . . . . . . . . . . 13
138135, 137breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12
13949nnrpd 11284 . . . . . . . . . . . . 13
14019adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
141 rprege0 11263 . . . . . . . . . . . . . 14
142 rprege0 11263 . . . . . . . . . . . . . 14
143 le2sq 12242 . . . . . . . . . . . . . 14
144141, 142, 143syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
145139, 140, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
146138, 145mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
14726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
14849nnzd 10993 . . . . . . . . . . . 12
149 flge 11942 . . . . . . . . . . . 12
150147, 148, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
151146, 150mpbid 210 . . . . . . . . . 10
15249, 84syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . 11
15322nn0zd 10992 . . . . . . . . . . . 12
154153adantr 465 . . . . . . . . . . 11
155 elfz5 11709 . . . . . . . . . . 11
156152, 154, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
157151, 156mpbird 232 . . . . . . . . 9
158 opelxpi 5036 . . . . . . . . 9
159130, 157, 158syl2anc 661 . . . . . . . 8
160159ex 434 . . . . . . 7
161 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
162 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
163161, 162opth 4726 . . . . . . . . . . 11
164 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12
165 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . 12
166164, 165sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
167163, 166sylbi 195 . . . . . . . . . 10
16876adantrr 716 . . . . . . . . . . 11
16942ssriv 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15
1704, 169sstri 3512 . . . . . . . . . . . . . 14
171 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
172170, 171sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . 13
173172nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
17444prmreclem1 14434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175174simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15
176172, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
177176nnsqcld 12330 . . . . . . . . . . . . 13
178177nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
179177nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . 12
180173, 178, 179divcan1d 10346 . . . . . . . . . . 11
181168, 180eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
182167, 181syl5ib 219 . . . . . . . . 9
183 id 22 . . . . . . . . . . 11
184 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
185184oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
186183, 185oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
187186, 184opeq12d 4225 . . . . . . . . 9
188182, 187impbid1 203 . . . . . . . 8
189188ex 434 . . . . . . 7
190160, 189dom2d 7576 . . . . . 6
19139, 190mpi 17 . . . . 5
192 hashdom 12447 . . . . . 6
1936, 39, 192mp2an 672 . . . . 5
194191, 193sylibr 212 . . . 4
195 hashxp 12492 . . . . . 6
19630, 37, 195mp2an 672 . . . . 5
197 hashfz1 12419 . . . . . . 7
19822, 197syl 16 . . . . . 6
199198oveq2d 6312 . . . . 5
200196, 199syl5eq 2510 . . . 4
201194, 200breqtrd 4476 . . 3
20233a1i 11 . . . 4
20322nn0ge0d 10880 . . . 4
204 prmrec.1 . . . . 5
205204, 12, 17, 2, 44prmreclem2 14435 . . . 4
206202, 25, 34, 203, 205lemul1ad 10510 . . 3
20710, 36, 24, 201, 206letrd 9760 . 2
20815nnrpd 11284 . . . 4
209208rprege0d 11292 . . 3
210 fllelt 11934 . . . . 5
21126, 210syl 16 . . . 4
212211simpld 459 . . 3
213 lemul2a 10422 . . 3
21434, 26, 209, 212, 213syl31anc 1231 . 2
21510, 24, 27, 207, 214letrd 9760 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  ifcif 3941  <.cop 4035   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cdom 7534   cfn 7536  supcsup 7920   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   crp 11249   cfz 11701   cfl 11927   cexp 12166   chash 12405   csqrt 13066   cdvds 13986   cprime 14217
This theorem is referenced by:  prmreclem5  14438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218  df-pc 14361
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