Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodeq1f Unicode version

Theorem prodeq1f 13715
 Description: Equality theorem for a product. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodeq1f.1
prodeq1f.2
Assertion
Ref Expression
prodeq1f

Proof of Theorem prodeq1f
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3524 . . . . . 6
2 prodeq1f.1 . . . . . . . . . . . . 13
3 prodeq1f.2 . . . . . . . . . . . . 13
42, 3nfeq 2630 . . . . . . . . . . . 12
5 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
65ifbid 3963 . . . . . . . . . . . . 13
76adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
84, 7mpteq2da 4537 . . . . . . . . . . 11
98seqeq3d 12115 . . . . . . . . . 10
109breq1d 4462 . . . . . . . . 9
1110anbi2d 703 . . . . . . . 8
1211exbidv 1714 . . . . . . 7
1312rexbidv 2968 . . . . . 6
148seqeq3d 12115 . . . . . . 7
1514breq1d 4462 . . . . . 6
161, 13, 153anbi123d 1299 . . . . 5
1716rexbidv 2968 . . . 4
18 f1oeq3 5814 . . . . . . 7
1918anbi1d 704 . . . . . 6
2019exbidv 1714 . . . . 5
2120rexbidv 2968 . . . 4
2217, 21orbi12d 709 . . 3
2322iotabidv 5577 . 2
24 df-prod 13713 . 2
25 df-prod 13713 . 2
2623, 24, 253eqtr4g 2523 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  F/_wnfc 2605  =/=wne 2652  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  prod_`cprod 13712 This theorem is referenced by:  prodeq1  13716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seq 12108  df-prod 13713
 Copyright terms: Public domain W3C validator