Theorem prodeq2ii 13720

Description: Equality theorem for product, with the class expressions and guarded by to be always sets. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2ii

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem prodeq2ii

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . 13
2	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
3		nfra1 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
4		rsp 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6		ifeq1 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7	5, 6	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8		iffalse 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9		iffalse 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10	8, 9	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11	7, 10	pm2.61d1 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12		fvif 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13		fvif 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15	3, 14	mpteq2da 4537	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	16	fveq1d 5873	. . . . . . . . . . . . . 14
18	17	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13
19		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
20		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
21	19, 20	fvmptex 5966	. . . . . . . . . . . . 13
22		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
23		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
24	22, 23	fvmptex 5966	. . . . . . . . . . . . 13
25	18, 21, 24	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . . . . 12
26	2, 25	seqfeq 12132	. . . . . . . . . . 11
27	26	breq1d 4462	. . . . . . . . . 10
28	27	anbi2d 703	. . . . . . . . 9
29	28	exbidv 1714	. . . . . . . 8
30	29	rexbidva 2965	. . . . . . 7
31	30	adantr 465	. . . . . 6
32		simpr 461	. . . . . . . 8
33	15	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
34	33	fveq1d 5873	. . . . . . . . . 10
35	34, 21, 24	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . 9
36	35	adantlr 714	. . . . . . . 8
37	32, 36	seqfeq 12132	. . . . . . 7
38	37	breq1d 4462	. . . . . 6
39	31, 38	3anbi23d 1302	. . . . 5
40	39	rexbidva 2965	. . . 4
41		simplr 755	. . . . . . . . . 10
42		nnuz 11145	. . . . . . . . . 10
43	41, 42	syl6eleq 2555	. . . . . . . . 9
44		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13
46		ffvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . 13
47	45, 46	sylancom 667	. . . . . . . . . . . 12
48		simplll 759	. . . . . . . . . . . 12
49		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . 14
50		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . 14
51	49, 50	nfeq 2630	. . . . . . . . . . . . 13
52		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . 14
53		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . 14
54	52, 53	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . 13
55	51, 54	rspc 3204	. . . . . . . . . . . 12
56	47, 48, 55	sylc 60	. . . . . . . . . . 11
57		fvex 5881	. . . . . . . . . . . 12
58		csbfv2g 5908	. . . . . . . . . . . 12
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
60		csbfv2g 5908	. . . . . . . . . . . 12
61	57, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
62	56, 59, 61	3eqtr3g 2521	. . . . . . . . . 10
63		elfznn 11743	. . . . . . . . . . . 12
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
65		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
66	65	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . 12
67		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
68	66, 67	fvmpti 5955	. . . . . . . . . . 11
69	64, 68	syl 16	. . . . . . . . . 10
70	65	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . 12
71		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
72	70, 71	fvmpti 5955	. . . . . . . . . . 11
73	64, 72	syl 16	. . . . . . . . . 10
74	62, 69, 73	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9
75	43, 74	seqfveq 12131	. . . . . . . 8
76	75	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
77	76	pm5.32da 641	. . . . . 6
78	77	exbidv 1714	. . . . 5
79	78	rexbidva 2965	. . . 4
80	40, 79	orbi12d 709	. . 3
81	80	iotabidv 5577	. 2
82		df-prod 13713	. 2
83		df-prod 13713	. 2
84	81, 82, 83	3eqtr4g 2523	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  cid 4795  iotacio 5554  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307  prod_cprod 13712

This theorem is referenced by:  prodeq2  13721  prod2id  13735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-seq 12108  df-prod 13713