Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodeq2w Unicode version

Theorem prodeq2w 13719
 Description: Equality theorem for product, when the class expressions and are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodeq2w
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem prodeq2w
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
2 ifeq1 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
32alimi 1633 . . . . . . . . . . . . 13
4 alral 2822 . . . . . . . . . . . . 13
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6 mpteq12 4531 . . . . . . . . . . . 12
71, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
87seqeq3d 12115 . . . . . . . . . 10
98breq1d 4462 . . . . . . . . 9
109anbi2d 703 . . . . . . . 8
1110exbidv 1714 . . . . . . 7
1211rexbidv 2968 . . . . . 6
137seqeq3d 12115 . . . . . . 7
1413breq1d 4462 . . . . . 6
1512, 143anbi23d 1302 . . . . 5
1615rexbidv 2968 . . . 4
17 csbeq2 3438 . . . . . . . . . . 11
1817mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . 10
1918seqeq3d 12115 . . . . . . . . 9
2019fveq1d 5873 . . . . . . . 8
2120eqeq2d 2471 . . . . . . 7
2221anbi2d 703 . . . . . 6
2322exbidv 1714 . . . . 5
2423rexbidv 2968 . . . 4
2516, 24orbi12d 709 . . 3
2625iotabidv 5577 . 2
27 df-prod 13713 . 2
28 df-prod 13713 . 2
2926, 27, 283eqtr4g 2523 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   cli 13307  prod_`cprod 13712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seq 12108  df-prod 13713
 Copyright terms: Public domain W3C validator