Theorem prodeq2w 13719

Description: Equality theorem for product, when the class expressions and are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodeq2w

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem prodeq2w

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12
2		ifeq1 3945	. . . . . . . . . . . . . 14
3	2	alimi 1633	. . . . . . . . . . . . 13
4		alral 2822	. . . . . . . . . . . . 13
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
6		mpteq12 4531	. . . . . . . . . . . 12
7	1, 5, 6	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11
8	7	seqeq3d 12115	. . . . . . . . . 10
9	8	breq1d 4462	. . . . . . . . 9
10	9	anbi2d 703	. . . . . . . 8
11	10	exbidv 1714	. . . . . . 7
12	11	rexbidv 2968	. . . . . 6
13	7	seqeq3d 12115	. . . . . . 7
14	13	breq1d 4462	. . . . . 6
15	12, 14	3anbi23d 1302	. . . . 5
16	15	rexbidv 2968	. . . 4
17		csbeq2 3438	. . . . . . . . . . 11
18	17	mpteq2dv 4539	. . . . . . . . . 10
19	18	seqeq3d 12115	. . . . . . . . 9
20	19	fveq1d 5873	. . . . . . . 8
21	20	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
22	21	anbi2d 703	. . . . . 6
23	22	exbidv 1714	. . . . 5
24	23	rexbidv 2968	. . . 4
25	16, 24	orbi12d 709	. . 3
26	25	iotabidv 5577	. 2
27		df-prod 13713	. 2
28		df-prod 13713	. 2
29	26, 27, 28	3eqtr4g 2523	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  cli 13307  prod_cprod 13712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seq 12108  df-prod 13713