MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Unicode version

Theorem prodfdiv 13705
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1
prodfdiv.2
prodfdiv.3
prodfdiv.4
prodfdiv.5
Assertion
Ref Expression
prodfdiv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M   ,N

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4
2 prodfdiv.3 . . . 4
3 prodfdiv.4 . . . 4
4 fveq2 5871 . . . . . . 7
54oveq2d 6312 . . . . . 6
6 eqid 2457 . . . . . 6
7 ovex 6324 . . . . . 6
85, 6, 7fvmpt 5956 . . . . 5
98adantl 466 . . . 4
101, 2, 3, 9prodfrec 13704 . . 3
1110oveq2d 6312 . 2
12 prodfdiv.2 . . 3
13 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
1413anbi2d 703 . . . . . . . 8
15 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
1615eleq1d 2526 . . . . . . . 8
1714, 16imbi12d 320 . . . . . . 7
1817, 2chvarv 2014 . . . . . 6
1915neeq1d 2734 . . . . . . . 8
2014, 19imbi12d 320 . . . . . . 7
2120, 3chvarv 2014 . . . . . 6
2218, 21reccld 10338 . . . . 5
2322, 6fmptd 6055 . . . 4
2423ffvelrnda 6031 . . 3
2512, 2, 3divrecd 10348 . . . 4
26 prodfdiv.5 . . . 4
279oveq2d 6312 . . . 4
2825, 26, 273eqtr4d 2508 . . 3
291, 12, 24, 28prodfmul 13699 . 2
30 mulcl 9597 . . . . 5
3130adantl 466 . . . 4
321, 12, 31seqcl 12127 . . 3
331, 2, 31seqcl 12127 . . 3
341, 2, 3prodfn0 13703 . . 3
3532, 33, 34divrecd 10348 . 2
3611, 29, 353eqtr4d 2508 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  e.cmpt 4510  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cdiv 10231   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  fproddiv  13766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator