MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfn0 Unicode version

Theorem prodfn0 13703
Description: No term of a non-zero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1
prodfn0.2
prodfn0.3
Assertion
Ref Expression
prodfn0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N

Proof of Theorem prodfn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 fveq2 5871 . . . . 5
54neeq1d 2734 . . . 4
65imbi2d 316 . . 3
7 fveq2 5871 . . . . 5
87neeq1d 2734 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 fveq2 5871 . . . . 5
1110neeq1d 2734 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 fveq2 5871 . . . . 5
1413neeq1d 2734 . . . 4
1514imbi2d 316 . . 3
16 eluzfz1 11722 . . . 4
17 elfzelz 11717 . . . . . . . 8
1817adantl 466 . . . . . . 7
19 seq1 12120 . . . . . . 7
2018, 19syl 16 . . . . . 6
21 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2221neeq1d 2734 . . . . . . . . 9
2322imbi2d 316 . . . . . . . 8
24 prodfn0.3 . . . . . . . . 9
2524expcom 435 . . . . . . . 8
2623, 25vtoclga 3173 . . . . . . 7
2726impcom 430 . . . . . 6
2820, 27eqnetrd 2750 . . . . 5
2928expcom 435 . . . 4
3016, 29syl 16 . . 3
31 elfzouz 11833 . . . . . . . . 9
32313ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
33 seqp1 12122 . . . . . . . 8
3432, 33syl 16 . . . . . . 7
35 elfzofz 11843 . . . . . . . . . 10
36 elfzuz 11713 . . . . . . . . . . . 12
3736adantl 466 . . . . . . . . . . 11
38 elfzuz3 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . 15
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4140sselda 3503 . . . . . . . . . . . . 13
42 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . 13
4341, 42sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
4443anassrs 648 . . . . . . . . . . 11
45 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . 12
4645adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4737, 44, 46seqcl 12127 . . . . . . . . . 10
4835, 47sylan2 474 . . . . . . . . 9
49483adant3 1016 . . . . . . . 8
50 fzofzp1 11909 . . . . . . . . . . 11
51 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
5251eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
5352imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
5442expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54vtoclga 3173 . . . . . . . . . . 11
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . 10
5756impcom 430 . . . . . . . . 9
58573adant3 1016 . . . . . . . 8
59 simp3 998 . . . . . . . 8
6051neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13
6160imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12
6261, 25vtoclga 3173 . . . . . . . . . . 11
6362impcom 430 . . . . . . . . . 10
6450, 63sylan2 474 . . . . . . . . 9
65643adant3 1016 . . . . . . . 8
6649, 58, 59, 65mulne0d 10226 . . . . . . 7
6734, 66eqnetrd 2750 . . . . . 6
68673exp 1195 . . . . 5
6968com12 31 . . . 4
7069a2d 26 . . 3
716, 9, 12, 15, 30, 70fzind2 11924 . 2
723, 71mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  prodfrec  13704  prodfdiv  13705  fprodn0  13783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator