MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfrec Unicode version

Theorem prodfrec 13704
Description: The reciprocal of an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1
prodfn0.2
prodfn0.3
prodfrec.4
Assertion
Ref Expression
prodfrec
Distinct variable groups:   ,   ,   ,M   ,N   ,

Proof of Theorem prodfrec
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3
2 eluzfz2 11723 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 fveq2 5871 . . . . 5
5 fveq2 5871 . . . . . 6
65oveq2d 6312 . . . . 5
74, 6eqeq12d 2479 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 fveq2 5871 . . . . 5
10 fveq2 5871 . . . . . 6
1110oveq2d 6312 . . . . 5
129, 11eqeq12d 2479 . . . 4
1312imbi2d 316 . . 3
14 fveq2 5871 . . . . 5
15 fveq2 5871 . . . . . 6
1615oveq2d 6312 . . . . 5
1714, 16eqeq12d 2479 . . . 4
1817imbi2d 316 . . 3
19 fveq2 5871 . . . . 5
20 fveq2 5871 . . . . . 6
2120oveq2d 6312 . . . . 5
2219, 21eqeq12d 2479 . . . 4
2322imbi2d 316 . . 3
24 eluzfz1 11722 . . . . . . 7
251, 24syl 16 . . . . . 6
26 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
27 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
2827oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
2926, 28eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
3029imbi2d 316 . . . . . . 7
31 prodfrec.4 . . . . . . . 8
3231expcom 435 . . . . . . 7
3330, 32vtoclga 3173 . . . . . 6
3425, 33mpcom 36 . . . . 5
35 eluzel2 11115 . . . . . . 7
361, 35syl 16 . . . . . 6
37 seq1 12120 . . . . . 6
3836, 37syl 16 . . . . 5
39 seq1 12120 . . . . . . 7
4036, 39syl 16 . . . . . 6
4140oveq2d 6312 . . . . 5
4234, 38, 413eqtr4d 2508 . . . 4
4342a1i 11 . . 3
44 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
45443ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
46 fzofzp1 11909 . . . . . . . . . . . . 13
47 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5047, 49eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
5251, 32vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . . 13
5346, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5453impcom 430 . . . . . . . . . . 11
5554oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
56 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . 12
57 elfzouz 11833 . . . . . . . . . . . . . 14
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
59 elfzouz2 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60 fzss2 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
6564anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13
66 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
6858, 65, 67seqcl 12127 . . . . . . . . . . . 12
6948eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15
7163expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15
7270, 71vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . . . 14
7346, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7473impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
75 prodfn0.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
7662, 75sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
7776anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13
7858, 65, 77prodfn0 13703 . . . . . . . . . . . 12
7948neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15
8175expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15
8280, 81vtoclga 3173 . . . . . . . . . . . . . 14
8346, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . 12
8556, 68, 56, 74, 78, 84divmuldivd 10386 . . . . . . . . . . 11
86 1t1e1 10708 . . . . . . . . . . . 12
8786oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11
8885, 87syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10
8955, 88eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
90893adant3 1016 . . . . . . . 8
9145, 90eqtrd 2498 . . . . . . 7
92 seqp1 12122 . . . . . . . . 9
9357, 92syl 16 . . . . . . . 8
94933ad2ant2 1018 . . . . . . 7
95 seqp1 12122 . . . . . . . . . 10
9657, 95syl 16 . . . . . . . . 9
9796oveq2d 6312 . . . . . . . 8
98973ad2ant2 1018 . . . . . . 7
9991, 94, 983eqtr4d 2508 . . . . . 6
100993exp 1195 . . . . 5
101100com12 31 . . . 4
102101a2d 26 . . 3
1038, 13, 18, 23, 43, 102fzind2 11924 . 2
1043, 103mpcom 36 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cdiv 10231   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701   cfzo 11824  seqcseq 12107
This theorem is referenced by:  prodfdiv  13705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108
  Copyright terms: Public domain W3C validator