Theorem prodge0 10414

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodge0

Proof of Theorem prodge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . . . . . 8
2		simplr 755	. . . . . . . . 9
3	2	renegcld 10011	. . . . . . . 8
4		simprl 756	. . . . . . . 8
5		simprr 757	. . . . . . . 8
6	1, 3, 4, 5	mulgt0d 9758	. . . . . . 7
7	1	recnd 9643	. . . . . . . 8
8	2	recnd 9643	. . . . . . . 8
9	7, 8	mulneg2d 10035	. . . . . . 7
10	6, 9	breqtrd 4476	. . . . . 6
11	10	expr 615	. . . . 5
12		simplr 755	. . . . . 6
13	12	lt0neg1d 10147	. . . . 5
14		simpll 753	. . . . . . 7
15	14, 12	remulcld 9645	. . . . . 6
16	15	lt0neg1d 10147	. . . . 5
17	11, 13, 16	3imtr4d 268	. . . 4
18	17	con3d 133	. . 3
19		0red 9618	. . . 4
20	19, 15	lenltd 9752	. . 3
21	19, 12	lenltd 9752	. . 3
22	18, 20, 21	3imtr4d 268	. 2
23	22	impr 619	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  -ucneg 9829

This theorem is referenced by:  prodge02  10415  prodge0i  10478  oexpneg  14049  nvge0  25577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831