Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodgt0 Unicode version

Theorem prodgt0 10412
 Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
prodgt0

Proof of Theorem prodgt0
StepHypRef Expression
1 0red 9618 . . . 4
2 simpl 457 . . . 4
31, 2leloed 9749 . . 3
4 simpll 753 . . . . . . . 8
5 simplr 755 . . . . . . . 8
64, 5remulcld 9645 . . . . . . 7
7 simprl 756 . . . . . . . . 9
87gt0ne0d 10142 . . . . . . . 8
94, 8rereccld 10396 . . . . . . 7
10 simprr 757 . . . . . . 7
11 recgt0 10411 . . . . . . . 8
1211ad2ant2r 746 . . . . . . 7
136, 9, 10, 12mulgt0d 9758 . . . . . 6
146recnd 9643 . . . . . . . 8
154recnd 9643 . . . . . . . 8
1614, 15, 8divrecd 10348 . . . . . . 7
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10
1817recnd 9643 . . . . . . . . 9
1918adantr 465 . . . . . . . 8
2019, 15, 8divcan3d 10350 . . . . . . 7
2116, 20eqtr3d 2500 . . . . . 6
2213, 21breqtrd 4476 . . . . 5
2322exp32 605 . . . 4
24 0re 9617 . . . . . . . 8
2524ltnri 9714 . . . . . . 7
2618mul02d 9799 . . . . . . . 8
2726breq2d 4464 . . . . . . 7
2825, 27mtbiri 303 . . . . . 6
2928pm2.21d 106 . . . . 5
30 oveq1 6303 . . . . . . 7
3130breq2d 4464 . . . . . 6
3231imbi1d 317 . . . . 5
3329, 32syl5ibcom 220 . . . 4
3423, 33jaod 380 . . 3
353, 34sylbid 215 . 2
3635imp32 433 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cdiv 10231 This theorem is referenced by:  prodgt02  10413  prodgt0i  10477  sgnmul  28481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
 Copyright terms: Public domain W3C validator