MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2a Unicode version

Theorem prodmolem2a 13741
Description: Lemma for prodmo 13743. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1
prodmo.2
prodmo.3
prodmolem2.4
prodmolem2.5
prodmolem2.6
prodmolem2.7
prodmolem2.8
prodmolem2.9
Assertion
Ref Expression
prodmolem2a
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   , ,   ,   , ,   , ,   ,M,   ,N,

Proof of Theorem prodmolem2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodmo.1 . . 3
2 prodmo.2 . . 3
3 prodmolem2.7 . . . 4
4 prodmolem2.9 . . . . . . 7
5 prodmolem2.8 . . . . . . . . . . . 12
6 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
76f1oen 7556 . . . . . . . . . . . 12
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11
9 fzfid 12083 . . . . . . . . . . . 12
108ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . 13
11 enfii 7757 . . . . . . . . . . . . 13
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
13 hashen 12420 . . . . . . . . . . . 12
149, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
158, 14mpbird 232 . . . . . . . . . 10
16 prodmolem2.5 . . . . . . . . . . . 12
1716nnnn0d 10877 . . . . . . . . . . 11
18 hashfz1 12419 . . . . . . . . . . 11
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10
2015, 19eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9
2120oveq2d 6312 . . . . . . . 8
22 isoeq4 6218 . . . . . . . 8
2321, 22syl 16 . . . . . . 7
244, 23mpbid 210 . . . . . 6
25 isof1o 6221 . . . . . 6
26 f1of 5821 . . . . . 6
2724, 25, 263syl 20 . . . . 5
28 nnuz 11145 . . . . . . 7
2916, 28syl6eleq 2555 . . . . . 6
30 eluzfz2 11723 . . . . . 6
3129, 30syl 16 . . . . 5
3227, 31ffvelrnd 6032 . . . 4
333, 32sseldd 3504 . . 3
343sselda 3503 . . . . . 6
3524, 25syl 16 . . . . . . . . 9
36 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . . 9
3735, 36sylan 471 . . . . . . . 8
38 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . 12
39 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
4035, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11
4140ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . 10
42 elfzle2 11719 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
4424adantr 465 . . . . . . . . . 10
45 fzssuz 11753 . . . . . . . . . . . . 13
46 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . . 14
47 zssre 10896 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47sstri 3512 . . . . . . . . . . . . 13
4945, 48sstri 3512 . . . . . . . . . . . 12
50 ressxr 9658 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50sstri 3512 . . . . . . . . . . 11
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10
53 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . . 14
5453, 47sstri 3512 . . . . . . . . . . . . 13
5554, 50sstri 3512 . . . . . . . . . . . 12
563, 55syl6ss 3515 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10
5831adantr 465 . . . . . . . . . 10
59 leisorel 12509 . . . . . . . . . 10
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1237 . . . . . . . . 9
6143, 60mpbid 210 . . . . . . . 8
6237, 61eqbrtrrd 4474 . . . . . . 7
633, 53syl6ss 3515 . . . . . . . . 9
6463sselda 3503 . . . . . . . 8
65 eluzelz 11119 . . . . . . . . . 10
6633, 65syl 16 . . . . . . . . 9
6766adantr 465 . . . . . . . 8
68 eluz 11123 . . . . . . . 8
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7
7062, 69mpbird 232 . . . . . 6
71 elfzuzb 11711 . . . . . 6
7234, 70, 71sylanbrc 664 . . . . 5
7372ex 434 . . . 4
7473ssrdv 3509 . . 3
751, 2, 33, 74fprodcvg 13737 . 2
76 mulid2 9615 . . . . 5
7776adantl 466 . . . 4
78 mulid1 9614 . . . . 5
7978adantl 466 . . . 4
80 mulcl 9597 . . . . 5
8180adantl 466 . . . 4
82 1cnd 9633 . . . 4
8331, 21eleqtrrd 2548 . . . 4
84 iftrue 3947 . . . . . . . . . . 11
8584adantl 466 . . . . . . . . . 10
8685, 2eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9
8786ex 434 . . . . . . . 8
88 iffalse 3950 . . . . . . . . 9
89 ax-1cn 9571 . . . . . . . . 9
9088, 89syl6eqel 2553 . . . . . . . 8
9187, 90pm2.61d1 159 . . . . . . 7
9291adantr 465 . . . . . 6
9392, 1fmptd 6055 . . . . 5
94 elfzelz 11717 . . . . 5
95 ffvelrn 6029 . . . . 5
9693, 94, 95syl2an 477 . . . 4
97 fveq2 5871 . . . . . . 7
9897eqeq1d 2459 . . . . . 6
99 fzssuz 11753 . . . . . . . . . 10
10099, 53sstri 3512 . . . . . . . . 9
101 eldifi 3625 . . . . . . . . 9
102100, 101sseldi 3501 . . . . . . . 8
103 eldifn 3626 . . . . . . . . . 10
104103, 88syl 16 . . . . . . . . 9
105104, 89syl6eqel 2553 . . . . . . . 8
1061fvmpt2 5963 . . . . . . . 8
107102, 105, 106syl2anc 661 . . . . . . 7
108107, 104eqtrd 2498 . . . . . 6
10998, 108vtoclga 3173 . . . . 5
110109adantl 466 . . . 4
111 isof1o 6221 . . . . . . . 8
112 f1of 5821 . . . . . . . 8
1134, 111, 1123syl 20 . . . . . . 7
114113ffvelrnda 6031 . . . . . 6
115114iftrued 3949 . . . . 5
11663adantr 465 . . . . . . 7
117116, 114sseldd 3504 . . . . . 6
118 nfv 1707 . . . . . . . . 9
119 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
120 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . 11
121 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
122119, 120, 121nfif 3970 . . . . . . . . . 10
123122nfel1 2635 . . . . . . . . 9
124118, 123nfim 1920 . . . . . . . 8
125 fvex 5881 . . . . . . . 8
126 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11
127 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . 11
128126, 127ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . 10
129128eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
130129imbi2d 316 . . . . . . . 8
131124, 125, 130, 91vtoclf 3160 . . . . . . 7
132131adantr 465 . . . . . 6
133 eleq1 2529 . . . . . . . 8
134 csbeq1 3437 . . . . . . . 8
135133, 134ifbieq1d 3964 . . . . . . 7
136 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
137 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
138 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . 10
139137, 138, 121nfif 3970 . . . . . . . . 9
140 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
141 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . 10
142140, 141ifbieq1d 3964 . . . . . . . . 9
143136, 139, 142cbvmpt 4542 . . . . . . . 8
1441, 143eqtri 2486 . . . . . . 7
145135, 144fvmptg 5954 . . . . . 6
146117, 132, 145syl2anc 661 . . . . 5
147 elfznn 11743 . . . . . . 7
148147adantl 466 . . . . . 6
149115, 132eqeltrrd 2546 . . . . . 6
150 fveq2 5871 . . . . . . . 8
151150csbeq1d 3441 . . . . . . 7
152 prodmolem2.4 . . . . . . 7
153151, 152fvmptg 5954 . . . . . 6
154148, 149, 153syl2anc 661 . . . . 5
155115, 146, 1543eqtr4rd 2509 . . . 4
15677, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 110, 155seqcoll 12512 . . 3
157 prodmo.3 . . . 4
15816, 16jca 532 . . . 4
1591, 2, 157, 152, 158, 5, 35prodmolem3 13740 . . 3
160156, 159eqtr4d 2501 . 2
16175, 160breqtrd 4476 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  [_csb 3434  \cdif 3472  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296   cen 7533   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  1c1 9514   cmul 9518   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405   cli 13307
This theorem is referenced by:  prodmolem2  13742  zprod  13744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator