MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem3 Unicode version

Theorem prodmolem3 13740
Description: Lemma for prodmo 13743. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1
prodmo.2
prodmo.3
prodmolem3.4
prodmolem3.5
prodmolem3.6
prodmolem3.7
Assertion
Ref Expression
prodmolem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   , ,   ,   , ,   ,   ,M

Proof of Theorem prodmolem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9597 . . . 4
21adantl 466 . . 3
3 mulcom 9599 . . . 4
43adantl 466 . . 3
5 mulass 9601 . . . 4
65adantl 466 . . 3
7 prodmolem3.5 . . . . 5
87simpld 459 . . . 4
9 nnuz 11145 . . . 4
108, 9syl6eleq 2555 . . 3
11 ssid 3522 . . . 4
1211a1i 11 . . 3
13 prodmolem3.6 . . . . . 6
14 f1ocnv 5833 . . . . . 6
1513, 14syl 16 . . . . 5
16 prodmolem3.7 . . . . 5
17 f1oco 5843 . . . . 5
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
19 ovex 6324 . . . . . . . . . 10
2019f1oen 7556 . . . . . . . . 9
2118, 20syl 16 . . . . . . . 8
22 fzfi 12082 . . . . . . . . 9
23 fzfi 12082 . . . . . . . . 9
24 hashen 12420 . . . . . . . . 9
2522, 23, 24mp2an 672 . . . . . . . 8
2621, 25sylibr 212 . . . . . . 7
277simprd 463 . . . . . . . . 9
2827nnnn0d 10877 . . . . . . . 8
29 hashfz1 12419 . . . . . . . 8
3028, 29syl 16 . . . . . . 7
318nnnn0d 10877 . . . . . . . 8
32 hashfz1 12419 . . . . . . . 8
3331, 32syl 16 . . . . . . 7
3426, 30, 333eqtr3rd 2507 . . . . . 6
3534oveq2d 6312 . . . . 5
36 f1oeq2 5813 . . . . 5
3735, 36syl 16 . . . 4
3818, 37mpbird 232 . . 3
39 elfznn 11743 . . . . . 6
4039adantl 466 . . . . 5
41 f1of 5821 . . . . . . . 8
4213, 41syl 16 . . . . . . 7
4342ffvelrnda 6031 . . . . . 6
44 prodmo.2 . . . . . . . 8
4544ralrimiva 2871 . . . . . . 7
4645adantr 465 . . . . . 6
47 nfcsb1v 3450 . . . . . . . 8
4847nfel1 2635 . . . . . . 7
49 csbeq1a 3443 . . . . . . . 8
5049eleq1d 2526 . . . . . . 7
5148, 50rspc 3204 . . . . . 6
5243, 46, 51sylc 60 . . . . 5
53 fveq2 5871 . . . . . . 7
5453csbeq1d 3441 . . . . . 6
55 prodmo.3 . . . . . 6
5654, 55fvmptg 5954 . . . . 5
5740, 52, 56syl2anc 661 . . . 4
5857, 52eqeltrd 2545 . . 3
59 f1oeq2 5813 . . . . . . . . . . . 12
6035, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11
6116, 60mpbird 232 . . . . . . . . . 10
62 f1of 5821 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9
64 fvco3 5950 . . . . . . . . 9
6563, 64sylan 471 . . . . . . . 8
6665fveq2d 5875 . . . . . . 7
6713adantr 465 . . . . . . . 8
6863ffvelrnda 6031 . . . . . . . 8
69 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . . 8
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . 7
7166, 70eqtrd 2498 . . . . . 6
7271csbeq1d 3441 . . . . 5
7372fveq2d 5875 . . . 4
74 f1of 5821 . . . . . . 7
7538, 74syl 16 . . . . . 6
7675ffvelrnda 6031 . . . . 5
77 elfznn 11743 . . . . 5
78 fveq2 5871 . . . . . . 7
7978csbeq1d 3441 . . . . . 6
8079, 55fvmpti 5955 . . . . 5
8176, 77, 803syl 20 . . . 4
82 elfznn 11743 . . . . . 6
8382adantl 466 . . . . 5
84 fveq2 5871 . . . . . . 7
8584csbeq1d 3441 . . . . . 6
86 prodmolem3.4 . . . . . 6
8785, 86fvmpti 5955 . . . . 5
8883, 87syl 16 . . . 4
8973, 81, 883eqtr4rd 2509 . . 3
902, 4, 6, 10, 12, 38, 58, 89seqf1o 12148 . 2
9134fveq2d 5875 . 2
9290, 91eqtr3d 2500 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cid 4795  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cen 7533   cfn 7536   cc 9511  1c1 9514   cmul 9518   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  13741  prodmo  13743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-hash 12406
  Copyright terms: Public domain W3C validator