MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodss Unicode version

Theorem prodss 13754
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1
prodss.2
prodss.3
prodss.4
prodss.5
Assertion
Ref Expression
prodss
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , ,   , , ,   ,M,   , ,   ,M

Proof of Theorem prodss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . 5
2 simpr 461 . . . . 5
3 prodss.3 . . . . . 6
43adantr 465 . . . . 5
5 prodss.1 . . . . . . 7
6 prodss.5 . . . . . . 7
75, 6sstrd 3513 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
9 simpr 461 . . . . . . 7
10 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . 12
1110adantl 466 . . . . . . . . . . 11
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
15 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1816, 17syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1915, 18sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14
2114, 20pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . 13
2221ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
23 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
2423nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . 13
25 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
2625eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 26rspc 3204 . . . . . . . . . . . 12
2822, 27mpan9 469 . . . . . . . . . . 11
2911, 28eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
30 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . 12
3130, 17syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10
3329, 32pm2.61dan 791 . . . . . . . . 9
3433adantr 465 . . . . . . . 8
3534adantr 465 . . . . . . 7
36 nfcv 2619 . . . . . . . 8
37 nfv 1707 . . . . . . . . 9
38 nfcv 2619 . . . . . . . . 9
3937, 23, 38nfif 3970 . . . . . . . 8
40 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
4140, 25ifbieq1d 3964 . . . . . . . 8
42 eqid 2457 . . . . . . . 8
4336, 39, 41, 42fvmptf 5972 . . . . . . 7
449, 35, 43syl2anc 661 . . . . . 6
45 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . 14
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
485adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4948sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
5028adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
5149, 50syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14
52 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352fvmpts 5958 . . . . . . . . . . . . . 14
5447, 51, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
5546, 54eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
5655ex 434 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10
58 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . 14
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
61 eldif 3485 . . . . . . . . . . . . 13
6216ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6423nfeq1 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15
6525eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . 14
6763, 66mpan9 469 . . . . . . . . . . . . 13
6861, 67sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12
6960, 68eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11
7069expr 615 . . . . . . . . . 10
7157, 70pm2.61d 158 . . . . . . . . 9
7210adantl 466 . . . . . . . . 9
7371, 72eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
7448ssneld 3505 . . . . . . . . . . 11
7574imp 429 . . . . . . . . . 10
7675, 58syl 16 . . . . . . . . 9
7730adantl 466 . . . . . . . . 9
7876, 77eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
7973, 78pm2.61dan 791 . . . . . . 7
8079adantr 465 . . . . . 6
8144, 80eqtr4d 2501 . . . . 5
8212, 52fmptd 6055 . . . . . . 7
8382adantr 465 . . . . . 6
8483ffvelrnda 6031 . . . . 5
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 13744 . . . 4
866adantr 465 . . . . 5
8743ancoms 453 . . . . . . 7
8834, 87sylan 471 . . . . . 6
89 simpr 461 . . . . . . . . . 10
90 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
9190fvmpts 5958 . . . . . . . . . 10
9289, 50, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9
9392ifeq1d 3959 . . . . . . . 8
9493adantlr 714 . . . . . . 7
95 iffalse 3950 . . . . . . . . 9
9695, 30eqtr4d 2501 . . . . . . . 8
9796adantl 466 . . . . . . 7
9894, 97pm2.61dan 791 . . . . . 6
9988, 98eqtr4d 2501 . . . . 5
10021, 90fmptd 6055 . . . . . . 7
101100adantr 465 . . . . . 6
102101ffvelrnda 6031 . . . . 5
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 13744 . . . 4
10485, 103eqtr4d 2501 . . 3
105 prodfc 13752 . . 3
106 prodfc 13752 . . 3
107104, 105, 1063eqtr3g 2521 . 2
1085adantr 465 . . . . . 6
1096adantr 465 . . . . . . 7
110 uzf 11113 . . . . . . . . . . 11
111110fdmi 5741 . . . . . . . . . 10
112111eleq2i 2535 . . . . . . . . 9
113 ndmfv 5895 . . . . . . . . 9
114112, 113sylnbir 307 . . . . . . . 8
115114adantl 466 . . . . . . 7
116109, 115sseqtrd 3539 . . . . . 6
117108, 116sstrd 3513 . . . . 5
118 ss0 3816 . . . . 5
119117, 118syl 16 . . . 4
120 ss0 3816 . . . . 5
121116, 120syl 16 . . . 4
122119, 121eqtr4d 2501 . . 3
123122prodeq1d 13728 . 2
124107, 123pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -->wf 5589  `cfv 5593   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cz 10889   cuz 11110  seqcseq 12107   cli 13307  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  fprodss  13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
  Copyright terms: Public domain W3C validator