MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psmetres2 Unicode version

Theorem psmetres2 20289
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 20281 . . . . 5
21adantr 465 . . . 4
3 simpr 461 . . . . 5
4 xpss12 5062 . . . . 5
53, 3, 4syl2anc 661 . . . 4
6 fssres 5699 . . . 4
72, 5, 6syl2anc 661 . . 3
8 simpr 461 . . . . . . 7
98, 8ovresd 6364 . . . . . 6
10 simpll 753 . . . . . . 7
113sselda 3470 . . . . . . 7
12 psmet0 20283 . . . . . . 7
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6
149, 13eqtrd 2495 . . . . 5
1510adantr 465 . . . . . . . . . 10
1615adantr 465 . . . . . . . . 9
173ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
1817sselda 3470 . . . . . . . . 9
1911adantr 465 . . . . . . . . . 10
2019adantr 465 . . . . . . . . 9
213adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2221sselda 3470 . . . . . . . . . 10
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
24 psmettri2 20284 . . . . . . . . 9
2516, 18, 20, 23, 24syl13anc 1221 . . . . . . . 8
268adantr 465 . . . . . . . . . 10
27 simpr 461 . . . . . . . . . 10
2826, 27ovresd 6364 . . . . . . . . 9
2928adantr 465 . . . . . . . 8
30 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3126adantr 465 . . . . . . . . . 10
3230, 31ovresd 6364 . . . . . . . . 9
3327adantr 465 . . . . . . . . . 10
3430, 33ovresd 6364 . . . . . . . . 9
3532, 34oveq12d 6240 . . . . . . . 8
3625, 29, 353brtr4d 4439 . . . . . . 7
3736ralrimiva 2831 . . . . . 6
3837ralrimiva 2831 . . . . 5
3914, 38jca 532 . . . 4
4039ralrimiva 2831 . . 3
417, 40jca 532 . 2
42 elfvex 5840 . . . . 5
4342adantr 465 . . . 4
44 ssexg 4555 . . . 4
453, 43, 44syl2anc 661 . . 3
46 ispsmet 20279 . . 3
4745, 46syl 16 . 2
4841, 47mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   cvv 3081  C_wss 3442   class class class wbr 4409  X.cxp 4955  |`cres 4959  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  0cc0 9419   cxr 9554   cle 9556   cxad 11226   cpsmet 17993
This theorem is referenced by:  restmetu  20561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-map 7350  df-xr 9559  df-psmet 18002
  Copyright terms: Public domain W3C validator