Theorem psslinpr 9430

Description: Proper subset is a linear ordering on positive reals. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
psslinpr

Proof of Theorem psslinpr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 9390	. . . . . . . . . . . . 13
2		prub 9393	. . . . . . . . . . . . 13
3	1, 2	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12
4		prcdnq 9392	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
6	3, 5	syld 44	. . . . . . . . . . 11
7	6	exp43 612	. . . . . . . . . 10
8	7	com3r 79	. . . . . . . . 9
9	8	imp 429	. . . . . . . 8
10	9	imp4a 589	. . . . . . 7
11	10	com23 78	. . . . . 6
12	11	alrimdv 1721	. . . . 5
13	12	exlimdv 1724	. . . 4
14		nss 3561	. . . . 5
15		sspss 3602	. . . . 5
16	14, 15	xchnxbi 308	. . . 4
17		sspss 3602	. . . . 5
18		dfss2 3492	. . . . 5
19	17, 18	bitr3i 251	. . . 4
20	13, 16, 19	3imtr4g 270	. . 3
21	20	orrd 378	. 2
22		df-3or 974	. . 3
23		or32 527	. . 3
24		orordir 531	. . . 4
25		eqcom 2466	. . . . . 6
26	25	orbi2i 519	. . . . 5
27	26	orbi2i 519	. . . 4
28	24, 27	bitr4i 252	. . 3
29	22, 23, 28	3bitri 271	. 2
30	21, 29	sylibr 212	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  cnq 9251  cltq 9257  cnp 9258

This theorem is referenced by:  ltsopr  9431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-ltnq 9317  df-np 9380