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Theorem pssnn 7758
Description: A proper subset of a natural number is equinumerous to some smaller number. Lemma 6F of [Enderton] p. 137. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
pssnn
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem pssnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3598 . . . 4
2 ssexg 4598 . . . 4
31, 2sylan 471 . . 3
43ancoms 453 . 2
5 psseq2 3591 . . . . . . . 8
6 rexeq 3055 . . . . . . . 8
75, 6imbi12d 320 . . . . . . 7
87albidv 1713 . . . . . 6
9 psseq2 3591 . . . . . . . 8
10 rexeq 3055 . . . . . . . 8
119, 10imbi12d 320 . . . . . . 7
1211albidv 1713 . . . . . 6
13 psseq2 3591 . . . . . . . 8
14 rexeq 3055 . . . . . . . 8
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . 7
1615albidv 1713 . . . . . 6
17 psseq2 3591 . . . . . . . 8
18 rexeq 3055 . . . . . . . 8
1917, 18imbi12d 320 . . . . . . 7
2019albidv 1713 . . . . . 6
21 npss0 3865 . . . . . . . 8
2221pm2.21i 131 . . . . . . 7
2322ax-gen 1618 . . . . . 6
24 nfv 1707 . . . . . . 7
25 nfa1 1897 . . . . . . 7
26 elequ1 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2726biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30 pssss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3130sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32 elsuci 4949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3332ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3433con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3531, 34syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3729, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938ssrdv 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 dfpss2 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15
4240, 41sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
43 elelsuc 4955 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544reximi2 2924 . . . . . . . . . . . . . 14
4642, 45imim12i 57 . . . . . . . . . . . . 13
4746exp4c 608 . . . . . . . . . . . 12
4847sps 1865 . . . . . . . . . . 11
4948adantl 466 . . . . . . . . . 10
5049com4t 85 . . . . . . . . 9
51 anidm 644 . . . . . . . . . . . . . 14
52 ssdif 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 orddif 4976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5752, 56syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5830, 57syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 pssnel 3893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61 eldifi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6260, 61syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6533, 64sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6763, 66pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6867ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6968con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7069expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7259, 71syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15
7358, 72im2anan9r 836 . . . . . . . . . . . . . 14
7451, 73syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . 13
75 dfpss2 3588 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12
77 psseq1 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15
8077, 79imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
8180cbvalv 2023 . . . . . . . . . . . . 13
82 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 difss 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83ssexi 4597 . . . . . . . . . . . . . 14
85 psseq1 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15
8885, 87imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
8984, 88spcv 3200 . . . . . . . . . . . . 13
9081, 89sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
9176, 90sylan9 657 . . . . . . . . . . 11
92 ordsucelsuc 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9392biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9453, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 elnn 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98 snex 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
99 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
100 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10199, 100f1osn 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
102 f1oen3g 7551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10398, 101, 102mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
104103jctr 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106 orddisj 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108 incom 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
110108, 109eqtr3i 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111107, 110jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112 unen 7618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113104, 111, 112syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114 difsnid 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115114eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116 df-suc 4889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118115, 117breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119113, 118syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12097, 119sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121120exp4d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122imp4b 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12496, 123jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15
127124, 126syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14
128127exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . 13
129 df-rex 2813 . . . . . . . . . . . . 13
130 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . 14
131130cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . 13
132128, 129, 1313imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12
133132adantr 465 . . . . . . . . . . 11
13491, 133syld 44 . . . . . . . . . 10
135134expl 618 . . . . . . . . 9
13682eqelsuc 4964 . . . . . . . . . . . 12
13782enref 7568 . . . . . . . . . . . 12
138 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
139138rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12
140136, 137, 139sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
141140a1d 25 . . . . . . . . . 10
142141a1d 25 . . . . . . . . 9
14350, 135, 142pm2.61ii 165 . . . . . . . 8
144143ex 434 . . . . . . 7
14524, 25, 144alrimd 1881 . . . . . 6
1468, 12, 16, 20, 23, 145finds 6726 . . . . 5
147 psseq1 3590 . . . . . . 7
148 breq1 4455 . . . . . . . 8
149148rexbidv 2968 . . . . . . 7
150147, 149imbi12d 320 . . . . . 6
151150spcgv 3194 . . . . 5
152146, 151syl5 32 . . . 4
153152com3l 81 . . 3
154153imp 429 . 2
1554, 154mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  Ordword 4882  succsuc 4885  -1-1-onto->wf1o 5592   com 6700   cen 7533
This theorem is referenced by:  ssnnfi  7759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6701  df-en 7537
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