Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ptpcon Unicode version

Theorem ptpcon 26825
Description: The topological product of a collection of path-connected spaces is path-connected. The proof uses the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptpcon

Proof of Theorem ptpcon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 26817 . . . . 5
21ssriv 3337 . . . 4
3 fss 5537 . . . 4
42, 3mpan2 656 . . 3
5 pttop 18859 . . 3
64, 5sylan2 464 . 2
7 fvi 5718 . . . . . . . . . 10
87ad2antrr 710 . . . . . . . . 9
98eleq2d 2489 . . . . . . . 8
109biimpa 474 . . . . . . 7
11 simplr 739 . . . . . . . . . 10
1211ffvelrnda 5813 . . . . . . . . 9
13 simprl 740 . . . . . . . . . . . . 13
14 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514ptuni 18871 . . . . . . . . . . . . . . 15
164, 15sylan2 464 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
1813, 17eleqtrrd 2499 . . . . . . . . . . . 12
19 vex 2954 . . . . . . . . . . . . 13
2019elixp 7229 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20sylib 190 . . . . . . . . . . 11
2221simprd 453 . . . . . . . . . 10
2322r19.21bi 2793 . . . . . . . . 9
24 simprr 741 . . . . . . . . . . . . 13
2524, 17eleqtrrd 2499 . . . . . . . . . . . 12
26 vex 2954 . . . . . . . . . . . . 13
2726elixp 7229 . . . . . . . . . . . 12
2825, 27sylib 190 . . . . . . . . . . 11
2928simprd 453 . . . . . . . . . 10
3029r19.21bi 2793 . . . . . . . . 9
31 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
3231pconcn 26816 . . . . . . . . 9
3312, 23, 30, 32syl3anc 1203 . . . . . . . 8
34 df-rex 2700 . . . . . . . 8
3533, 34sylib 190 . . . . . . 7
3610, 35syldan 460 . . . . . 6
3736ralrimiva 2778 . . . . 5
38 fvex 5671 . . . . . 6
39 eleq1 2482 . . . . . . 7
40 fveq1 5660 . . . . . . . . 9
4140eqeq1d 2430 . . . . . . . 8
42 fveq1 5660 . . . . . . . . 9
4342eqeq1d 2430 . . . . . . . 8
4441, 43anbi12d 695 . . . . . . 7
4539, 44anbi12d 695 . . . . . 6
4638, 45ac6s2 8602 . . . . 5
4737, 46syl 16 . . . 4
48 iitopon 20155 . . . . . . 7
4948a1i 11 . . . . . 6
50 simplll 742 . . . . . 6
5111adantr 455 . . . . . . 7
5251, 4syl 16 . . . . . 6
538adantr 455 . . . . . . . . . . . . 13
5453eleq2d 2489 . . . . . . . . . . . 12
5554biimpar 475 . . . . . . . . . . 11
56 simprr 741 . . . . . . . . . . . 12
57 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958oveq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . . 15
6057, 59eleq12d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14
6157fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62eqeq12d 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
6457fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65eqeq12d 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
6763, 66anbi12d 695 . . . . . . . . . . . . . 14
6860, 67anbi12d 695 . . . . . . . . . . . . 13
6968rspccva 3050 . . . . . . . . . . . 12
7056, 69sylan 461 . . . . . . . . . . 11
7155, 70syldan 460 . . . . . . . . . 10
7271simpld 449 . . . . . . . . 9
73 iiuni 20157 . . . . . . . . . 10
74 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
7573, 74cnf 18554 . . . . . . . . 9
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8
7776feqmptd 5714 . . . . . . 7
7877, 72eqeltrrd 2497 . . . . . 6
7914, 49, 50, 52, 78ptcn 18904 . . . . 5
8071simprd 453 . . . . . . . 8
8180simpld 449 . . . . . . 7
8281mpteq2dva 4353 . . . . . 6
83 0elunit 11347 . . . . . . 7
84 mptexg 5916 . . . . . . . 8
8550, 84syl 16 . . . . . . 7
86 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
8786mpteq2dv 4354 . . . . . . . 8
88 eqid 2422 . . . . . . . 8
8987, 88fvmptg 5742 . . . . . . 7
9083, 85, 89sylancr 648 . . . . . 6
9121simpld 449 . . . . . . . 8
9291adantr 455 . . . . . . 7
93 dffn5 5707 . . . . . . 7
9492, 93sylib 190 . . . . . 6
9582, 90, 943eqtr4d 2464 . . . . 5
9680simprd 453 . . . . . . 7
9796mpteq2dva 4353 . . . . . 6
98 1elunit 11348 . . . . . . 7
99 mptexg 5916 . . . . . . . 8
10050, 99syl 16 . . . . . . 7
101 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
102101mpteq2dv 4354 . . . . . . . 8
103102, 88fvmptg 5742 . . . . . . 7
10498, 100, 103sylancr 648 . . . . . 6
10528simpld 449 . . . . . . . 8
106105adantr 455 . . . . . . 7
107 dffn5 5707 . . . . . . 7
108106, 107sylib 190 . . . . . 6
10997, 104, 1083eqtr4d 2464 . . . . 5
110 fveq1 5660 . . . . . . . 8
111110eqeq1d 2430 . . . . . . 7
112 fveq1 5660 . . . . . . . 8
113112eqeq1d 2430 . . . . . . 7
114111, 113anbi12d 695 . . . . . 6
115114rspcev 3051 . . . . 5
11679, 95, 109, 115syl12anc 1201 . . . 4
11747, 116exlimddv 1683 . . 3
118117ralrimivva 2787 . 2
119 eqid 2422 . . 3
120119ispcon 26815 . 2
1216, 118, 120sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  E.wex 1581  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  E.wrex 2695   cvv 2951  C_wss 3305  U.cuni 4066  e.cmpt 4325   cid 4602  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  X_cixp 7222  0cc0 9228  1c1 9229   cicc 11248   cpt 14317   ctop 18202   ctopon 18203   ccn 18532   cii 20151   cpcon 26811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-reg 7754  ax-inf2 7794  ax-ac2 8579  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-pre-sup 9306
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-iin 4149  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-se 4651  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-isom 5399  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-fi 7608  df-sup 7638  df-r1 7918  df-rank 7919  df-card 8056  df-ac 8233  df-pnf 9366