Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ptpcon Unicode version

Theorem ptpcon 27578
Description: The topological product of a collection of path-connected spaces is path-connected. The proof uses the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptpcon

Proof of Theorem ptpcon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 27570 . . . . 5
21ssriv 3474 . . . 4
3 fss 5687 . . . 4
42, 3mpan2 671 . . 3
5 pttop 19554 . . 3
64, 5sylan2 474 . 2
7 fvi 5871 . . . . . . . . . 10
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
98eleq2d 2524 . . . . . . . 8
109biimpa 484 . . . . . . 7
11 simplr 754 . . . . . . . . . 10
1211ffvelrnda 5966 . . . . . . . . 9
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
14 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514ptuni 19566 . . . . . . . . . . . . . . 15
164, 15sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1813, 17eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
19 vex 3084 . . . . . . . . . . . . 13
2019elixp 7404 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20sylib 196 . . . . . . . . . . 11
2221simprd 463 . . . . . . . . . 10
2322r19.21bi 2922 . . . . . . . . 9
24 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13
2524, 17eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . 12
26 vex 3084 . . . . . . . . . . . . 13
2726elixp 7404 . . . . . . . . . . . 12
2825, 27sylib 196 . . . . . . . . . . 11
2928simprd 463 . . . . . . . . . 10
3029r19.21bi 2922 . . . . . . . . 9
31 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
3231pconcn 27569 . . . . . . . . 9
3312, 23, 30, 32syl3anc 1219 . . . . . . . 8
34 df-rex 2806 . . . . . . . 8
3533, 34sylib 196 . . . . . . 7
3610, 35syldan 470 . . . . . 6
3736ralrimiva 2831 . . . . 5
38 fvex 5823 . . . . . 6
39 eleq1 2526 . . . . . . 7
40 fveq1 5812 . . . . . . . . 9
4140eqeq1d 2456 . . . . . . . 8
42 fveq1 5812 . . . . . . . . 9
4342eqeq1d 2456 . . . . . . . 8
4441, 43anbi12d 710 . . . . . . 7
4539, 44anbi12d 710 . . . . . 6
4638, 45ac6s2 8792 . . . . 5
4737, 46syl 16 . . . 4
48 iitopon 20854 . . . . . . 7
4948a1i 11 . . . . . 6
50 simplll 757 . . . . . 6
5111adantr 465 . . . . . . 7
5251, 4syl 16 . . . . . 6
538adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
5453eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12
5554biimpar 485 . . . . . . . . . . 11
56 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
57 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958oveq2d 6238 . . . . . . . . . . . . . . 15
6057, 59eleq12d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14
6157fveq1d 5815 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 62eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15
6457fveq1d 5815 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 fveq2 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15
6763, 66anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14
6860, 67anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
6968rspccva 3181 . . . . . . . . . . . 12
7056, 69sylan 471 . . . . . . . . . . 11
7155, 70syldan 470 . . . . . . . . . 10
7271simpld 459 . . . . . . . . 9
73 iiuni 20856 . . . . . . . . . 10
74 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
7573, 74cnf 19249 . . . . . . . . 9
7672, 75syl 16 . . . . . . . 8
7776feqmptd 5867 . . . . . . 7
7877, 72eqeltrrd 2543 . . . . . 6
7914, 49, 50, 52, 78ptcn 19599 . . . . 5
8071simprd 463 . . . . . . . 8
8180simpld 459 . . . . . . 7
8281mpteq2dva 4495 . . . . . 6
83 0elunit 11548 . . . . . . 7
84 mptexg 6072 . . . . . . . 8
8550, 84syl 16 . . . . . . 7
86 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
8786mpteq2dv 4496 . . . . . . . 8
88 eqid 2454 . . . . . . . 8
8987, 88fvmptg 5895 . . . . . . 7
9083, 85, 89sylancr 663 . . . . . 6
9121simpld 459 . . . . . . . 8
9291adantr 465 . . . . . . 7
93 dffn5 5860 . . . . . . 7
9492, 93sylib 196 . . . . . 6
9582, 90, 943eqtr4d 2505 . . . . 5
9680simprd 463 . . . . . . 7
9796mpteq2dva 4495 . . . . . 6
98 1elunit 11549 . . . . . . 7
99 mptexg 6072 . . . . . . . 8
10050, 99syl 16 . . . . . . 7
101 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
102101mpteq2dv 4496 . . . . . . . 8
103102, 88fvmptg 5895 . . . . . . 7
10498, 100, 103sylancr 663 . . . . . 6
10528simpld 459 . . . . . . . 8
106105adantr 465 . . . . . . 7
107 dffn5 5860 . . . . . . 7
108106, 107sylib 196 . . . . . 6
10997, 104, 1083eqtr4d 2505 . . . . 5
110 fveq1 5812 . . . . . . . 8
111110eqeq1d 2456 . . . . . . 7
112 fveq1 5812 . . . . . . . 8
113112eqeq1d 2456 . . . . . . 7
114111, 113anbi12d 710 . . . . . 6
115114rspcev 3182 . . . . 5
11679, 95, 109, 115syl12anc 1217 . . . 4
11747, 116exlimddv 1693 . . 3
118117ralrimivva 2916 . 2
119 eqid 2454 . . 3
120119ispcon 27568 . 2
1216, 118, 120sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  E.wex 1587  e.wcel 1758  A.wral 2800  E.wrex 2801   cvv 3081  C_wss 3442  U.cuni 4208  e.cmpt 4467   cid 4748  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  X_cixp 7397  0cc0 9419  1c1 9420   cicc 11442   cpt 14536   ctop 18897   ctopon 18898   ccn 19227   cii 20850   cpcon 27564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-reg 7944  ax-inf2 7984  ax-ac2 8769  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-pre-sup 9497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-iin 4291  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-fi 7797  df-sup 7827  df-r1 8108  df-rank 8109  df-card 8246  df-ac 8423  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr