MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdadom Unicode version

Theorem pwcdadom 8617
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 9080. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdadom

Proof of Theorem pwcdadom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 8026 . . . 4
2 0elpw 4621 . . . . . . . . . . 11
3 n0i 3789 . . . . . . . . . . 11
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
5 dom0 7665 . . . . . . . . . 10
64, 5mtbir 299 . . . . . . . . 9
7 cdafn 8570 . . . . . . . . . . . 12
8 fndm 5685 . . . . . . . . . . . 12
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
109ndmov 6459 . . . . . . . . . 10
1110breq2d 4464 . . . . . . . . 9
126, 11mtbiri 303 . . . . . . . 8
1312con4i 130 . . . . . . 7
1413simpld 459 . . . . . 6
15 0ex 4582 . . . . . 6
16 xpsneng 7622 . . . . . 6
1714, 15, 16sylancl 662 . . . . 5
18 endom 7562 . . . . 5
19 domwdom 8021 . . . . 5
20 wdomtr 8022 . . . . . 6
2120expcom 435 . . . . 5
2217, 18, 19, 214syl 21 . . . 4
231, 22mtoi 178 . . 3
24 pwcdaen 8586 . . . . . . . . 9
2514, 14, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8
26 domen1 7679 . . . . . . . 8
2725, 26syl 16 . . . . . . 7
2827ibi 241 . . . . . 6
29 cdaval 8571 . . . . . . 7
3013, 29syl 16 . . . . . 6
3128, 30breqtrd 4476 . . . . 5
32 unxpwdom 8036 . . . . 5
3331, 32syl 16 . . . 4
3433ord 377 . . 3
3523, 34mpd 15 . 2
3613simprd 463 . . 3
37 1on 7156 . . 3
38 xpsneng 7622 . . 3
3936, 37, 38sylancl 662 . 2
40 domentr 7594 . 2
4135, 39, 40syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  Fnwfn 5588  (class class class)co 6296   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   cwdom 8004   ccda 8568
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9028  gchpwdom  9069  gchhar  9078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-wdom 8006  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator