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Theorem pwcfsdom 8979
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8965. Theorem 11.28 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pwcfsdom.1
Assertion
Ref Expression
pwcfsdom
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem pwcfsdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onzsl 6681 . . . 4
21biimpi 194 . . 3
3 cfom 8665 . . . . . . 7
4 aleph0 8468 . . . . . . . 8
54fveq2i 5874 . . . . . . 7
63, 5, 43eqtr4i 2496 . . . . . 6
7 fveq2 5871 . . . . . . 7
87fveq2d 5875 . . . . . 6
96, 8, 73eqtr4a 2524 . . . . 5
10 fvex 5881 . . . . . . . . 9
1110canth2 7690 . . . . . . . 8
1210pw2en 7644 . . . . . . . 8
13 sdomentr 7671 . . . . . . . 8
1411, 12, 13mp2an 672 . . . . . . 7
15 alephon 8471 . . . . . . . . 9
16 alephgeom 8484 . . . . . . . . . 10
17 omelon 8084 . . . . . . . . . . . 12
18 2onn 7308 . . . . . . . . . . . 12
19 onelss 4925 . . . . . . . . . . . 12
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . . . . . . 11
21 sstr 3511 . . . . . . . . . . 11
2220, 21mpan 670 . . . . . . . . . 10
2316, 22sylbi 195 . . . . . . . . 9
24 ssdomg 7581 . . . . . . . . 9
2515, 23, 24mpsyl 63 . . . . . . . 8
26 mapdom1 7702 . . . . . . . 8
2725, 26syl 16 . . . . . . 7
28 sdomdomtr 7670 . . . . . . 7
2914, 27, 28sylancr 663 . . . . . 6
30 oveq2 6304 . . . . . . 7
3130breq2d 4464 . . . . . 6
3229, 31syl5ibrcom 222 . . . . 5
339, 32syl5 32 . . . 4
34 alephreg 8978 . . . . . . 7
35 fveq2 5871 . . . . . . . 8
3635fveq2d 5875 . . . . . . 7
3734, 36, 353eqtr4a 2524 . . . . . 6
3837rexlimivw 2946 . . . . 5
3938, 32syl5 32 . . . 4
40 cfsmo 8672 . . . . . 6
41 limelon 4946 . . . . . . . . . . 11
42 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 fnrnfv 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443unieqd 4259 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4542, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
46 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746dfiun2 4364 . . . . . . . . . . . . . . 15
4845, 47syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . 14
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13
50 fnfvelrn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5142, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 sseq2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5352rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5451, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
60 alephislim 8485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 frn 5742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 coflim 8662 . . . . . . . . . . . . . . 15
6561, 63, 64syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14
6659, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
6749, 66eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . 12
68 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6915oneli 4990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 harcard 8380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71 iscard 8377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7370, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 domrefg 7570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7546, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76 elharval 8010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7776biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7875, 77mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079rspccv 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8173, 78, 80mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8268, 69, 813syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 harcl 8008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
84 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86 pwcfsdom.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8785, 86fvmptg 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8883, 87mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8988breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9182, 90mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . 14
93 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
94 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
9693, 94, 95konigth 8965 . . . . . . . . . . . . . 14
9792, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9897ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
9967, 98eqbrtrrd 4474 . . . . . . . . . . 11
10041, 99sylan 471 . . . . . . . . . 10
101 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
10268ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 alephlim 8469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 eliun 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 alephcard 8472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107106eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108 cardsdomelir 8375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
109107, 108sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110 elharval 8010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
111110simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
112 domnsym 7663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
114113con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
115 alephon 8471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
116 ontri1 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11783, 115, 116mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
118114, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119109, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
120 alephord2i 8479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121120imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122 ontr2 4930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12383, 15, 122mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
124119, 121, 123syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125124exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126125rexlimdv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127105, 126syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12841, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129104, 128sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130102, 129sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . 15
131130imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14
13285cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . . . 15
13386, 132eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
134131, 133fmptd 6055 . . . . . . . . . . . . 13
135 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 onelss 4925 . . . . . . . . . . . . . . 15
13715, 135, 136mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14
138137ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
139 ss2ixp 7502 . . . . . . . . . . . . . 14
14093, 10ixpconst 7499 . . . . . . . . . . . . . 14
141139, 140syl6sseq 3549 . . . . . . . . . . . . 13
142134, 138, 1413syl 20 . . . . . . . . . . . 12
143 ssdomg 7581 . . . . . . . . . . . 12
144101, 142, 143mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11
145144adantrr 716 . . . . . . . . . 10
146 sdomdomtr 7670 . . . . . . . . . 10
147100, 145, 146syl2anc 661 . . . . . . . . 9
148147expcom 435 . . . . . . . 8
1491483adant2 1015 . . . . . . 7
150149exlimiv 1722 . . . . . 6
15115, 40, 150mp2b 10 . . . . 5
152151a1i 11 . . . 4
15333, 39, 1523jaod 1292 . . 3
1542, 153mpd 15 . 2
155 alephfnon 8467 . . . . 5
156 fndm 5685 . . . . 5
157155, 156ax-mp 5 . . . 4
158157eleq2i 2535 . . 3
159 ndmfv 5895 . . . 4
160 1n0 7164 . . . . . 6
161 1on 7156 . . . . . . . 8
162161elexi 3119 . . . . . . 7
1631620sdom 7668 . . . . . 6
164160, 163mpbir 209 . . . . 5
165 id 22 . . . . . 6
166 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
167 cf0 8652 . . . . . . . . 9
168166, 167syl6eq 2514 . . . . . . . 8
169165, 168oveq12d 6314 . . . . . . 7
170 0ex 4582 . . . . . . . 8
171 map0e 7476 . . . . . . . 8
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . 7
173169, 172syl6eq 2514 . . . . . 6
174165, 173breq12d 4465 . . . . 5
175164, 174mpbiri 233 . . . 4
176159, 175syl 16 . . 3
177158, 176sylnbir 307 . 2
178154, 177pm2.61i 164 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700  Smowsmo 7035   c1o 7142   c2o 7143   cmap 7439  X_cixp 7489   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   char 8003   ccrd 8337   cale 8338   ccf 8339
This theorem is referenced by:  cfpwsdom  8980  tskcard  9180  bj-pwcfsdom  34589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-smo 7036  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-ixp 7490  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341  df-aleph 8342  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518
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