MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwen Unicode version

Theorem pwen 7710
Description: If two sets are equinumerous, then their power sets are equinumerous. Proposition 10.15 of [TakeutiZaring] p. 87. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwen

Proof of Theorem pwen
StepHypRef Expression
1 relen 7541 . . . 4
21brrelexi 5045 . . 3
3 pw2eng 7643 . . 3
42, 3syl 16 . 2
5 2onn 7308 . . . . . 6
65elexi 3119 . . . . 5
76enref 7568 . . . 4
8 mapen 7701 . . . 4
97, 8mpan 670 . . 3
101brrelex2i 5046 . . . 4
11 pw2eng 7643 . . . 4
12 ensym 7584 . . . 4
1310, 11, 123syl 20 . . 3
14 entr 7587 . . 3
159, 13, 14syl2anc 661 . 2
16 entr 7587 . 2
174, 15, 16syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  e.wcel 1818   cvv 3109  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   com 6700   c2o 7143   cmap 7439   cen 7533
This theorem is referenced by:  pwfi  7835  dfac12k  8548  pwcdaidm  8596  pwsdompw  8605  ackbij2lem2  8641  engch  9027  gchdomtri  9028  canthp1lem1  9051  gchcdaidm  9067  gchxpidm  9068  gchpwdom  9069  gchhar  9078  inar1  9174  rexpen  13961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator