MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfi Unicode version

Theorem pwfi 7835
Description: The power set of a finite set is finite and vice-versa. Theorem 38 of [Suppes] p. 104 and its converse, Theorem 40 of [Suppes] p. 105. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
pwfi

Proof of Theorem pwfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7559 . . 3
2 pweq 4015 . . . . . . 7
32eleq1d 2526 . . . . . 6
4 pweq 4015 . . . . . . 7
54eleq1d 2526 . . . . . 6
6 pweq 4015 . . . . . . . 8
7 df-suc 4889 . . . . . . . . 9
87pweqi 4016 . . . . . . . 8
96, 8syl6eq 2514 . . . . . . 7
109eleq1d 2526 . . . . . 6
11 pw0 4177 . . . . . . . 8
12 df1o2 7161 . . . . . . . 8
1311, 12eqtr4i 2489 . . . . . . 7
14 1onn 7307 . . . . . . . 8
15 ssid 3522 . . . . . . . 8
16 ssnnfi 7759 . . . . . . . 8
1714, 15, 16mp2an 672 . . . . . . 7
1813, 17eqeltri 2541 . . . . . 6
19 eqid 2457 . . . . . . . 8
2019pwfilem 7834 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
223, 5, 10, 18, 21finds1 6729 . . . . 5
23 pwen 7710 . . . . 5
24 enfii 7757 . . . . 5
2522, 23, 24syl2an 477 . . . 4
2625rexlimiva 2945 . . 3
271, 26sylbi 195 . 2
28 elex 3118 . . . . 5
29 pwexb 6611 . . . . 5
3028, 29sylibr 212 . . . 4
31 canth2g 7691 . . . 4
32 sdomdom 7563 . . . 4
3330, 31, 323syl 20 . . 3
34 domfi 7761 . . 3
3533, 34mpdan 668 . 2
3627, 35impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  succsuc 4885   com 6700   c1o 7142   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  mapfi  7836  r1fin  8212  dfac12k  8548  pwsdompw  8605  ackbij1lem5  8625  ackbij1lem9  8629  ackbij1lem10  8630  ackbij1lem14  8634  ackbij1b  8640  isfin1-2  8786  isfin1-3  8787  domtriomlem  8843  dominf  8846  dominfac  8969  gchhar  9078  omina  9090  gchina  9098  hashpw  12494  hashbclem  12501  qshash  13639  ackbijnn  13640  incexclem  13648  incexc  13649  incexc2  13650  hashbccl  14521  lagsubg2  16262  lagsubg  16263  orbsta2  16352  sylow1lem3  16620  sylow1lem5  16622  sylow2alem2  16638  sylow2a  16639  sylow2blem2  16641  sylow2blem3  16642  sylow3lem3  16649  sylow3lem4  16650  sylow3lem6  16652  pgpfac1lem5  17130  discmp  19898  cmpfi  19908  dis1stc  20000  1stckgenlem  20054  ptcmpfi  20314  fiufl  20417  musum  23467  qerclwwlknfi  24829  hasheuni  28091  coinfliplem  28417  ballotth  28476  erdszelem2  28636  kelac2lem  31010  pwinfig  37746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator