Theorem pwfseq 9063

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into the set of finite sequences. The proof is due to Halbeisen and Shelah. Proposition 1.7 of [KanamoriPincus] p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwfseq

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem pwfseq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7542	. . 3
2	1	brrelex2i 5046	. 2
3		domeng 7550	. . 3
4		bren 7545	. . . . . 6
5		harcl 8008	. . . . . . . . . 10
6		infxpenc2 8420	. . . . . . . . . 10
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
8		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10	9	cbviunv 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11		f1eq3 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13	8, 12	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15
14		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15
15		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		biid 236	. . . . . . . . . . . . . . 15
17		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22		xpeq12 5023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
23	22	anidms 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24		f1oeq2 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
26		f1oeq3 5814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	21, 25, 26	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	18, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	17, 29	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15
31		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
32		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
33		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
34		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
35		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36	35	cbviunv 4369	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37		mpteq1 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
39		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
40		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	13, 14, 15, 16, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 40	pwfseqlem5 9062	. . . . . . . . . . . . . 14
42	41	imnani 423	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	nexdv 1884	. . . . . . . . . . . 12
44		brdomi 7547	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 44	nsyl 121	. . . . . . . . . . 11
46	45	ex 434	. . . . . . . . . 10
47	46	exlimdv 1724	. . . . . . . . 9
48	7, 47	mpi 17	. . . . . . . 8
49	48	ex 434	. . . . . . 7
50	49	exlimiv 1722	. . . . . 6
51	4, 50	sylbi 195	. . . . 5
52	51	imp 429	. . . 4
53	52	exlimiv 1722	. . 3
54	3, 53	syl6bi 228	. 2
55	2, 54	mpcom 36	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  <.cop 4035  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Wewwe 4842  con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  |`cres 5006  o.ccom 5008  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131  cmap 7439  cen 7533  cdom 7534  OrdIsocoi 7955  char 8003

This theorem is referenced by:  pwxpndom2  9064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-har 8005  df-cnf 8100  df-card 8341