Theorem pwfseqlem1 9057

Description: Lemma for pwfseq 9063. Derive a contradiction by diagonalization. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfseqlem4.g
pwfseqlem4.x
pwfseqlem4.h
pwfseqlem4.ps
pwfseqlem4.k
pwfseqlem4.d

Assertion

Ref	Expression
pwfseqlem1

Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,   ,   ,,   ,,,   ,   ,,,

Proof of Theorem pwfseqlem1

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfseqlem4.d	. . 3
2		pwfseqlem4.g	. . . . . 6
3	2	adantr 465	. . . . 5
4		f1f 5786	. . . . 5
5	3, 4	syl 16	. . . 4
6		ssrab2 3584	. . . . . 6
7		pwfseqlem4.ps	. . . . . . 7
8		simprl1 1041	. . . . . . 7
9	7, 8	sylan2b 475	. . . . . 6
10	6, 9	syl5ss 3514	. . . . 5
11		vex 3112	. . . . . . 7
12	11	rabex 4603	. . . . . 6
13	12	elpw 4018	. . . . 5
14	10, 13	sylibr 212	. . . 4
15	5, 14	ffvelrnd 6032	. . 3
16	1, 15	syl5eqel 2549	. 2
17		pm5.19 360	. . 3
18		pwfseqlem4.k	. . . . . . . . 9
19	18	adantr 465	. . . . . . . 8
20		f1f 5786	. . . . . . . 8
21	19, 20	syl 16	. . . . . . 7
22		ffvelrn 6029	. . . . . . 7
23	21, 22	sylancom 667	. . . . . 6
24		f1f1orn 5832	. . . . . . . . 9
25	19, 24	syl 16	. . . . . . . 8
26		f1ocnvfv1 6182	. . . . . . . 8
27	25, 26	sylancom 667	. . . . . . 7
28		f1fn 5787	. . . . . . . . . . 11
29	3, 28	syl 16	. . . . . . . . . 10
30		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . 10
31	29, 14, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
32	1, 31	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8
33	32	adantr 465	. . . . . . 7
34	27, 33	eqeltrd 2545	. . . . . 6
35		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
36	35	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10
37		id 22	. . . . . . . . . . . 12
38	35	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . 12
39	37, 38	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . 11
40	39	notbid 294	. . . . . . . . . 10
41	36, 40	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
42		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
43	42	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
44		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
45	42	fveq2d 5875	. . . . . . . . . . . . 13
46	44, 45	eleq12d 2539	. . . . . . . . . . . 12
47	46	notbid 294	. . . . . . . . . . 11
48	43, 47	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
49	48	cbvrabv 3108	. . . . . . . . 9
50	41, 49	elrab2 3259	. . . . . . . 8
51		anass 649	. . . . . . . 8
52	50, 51	bitr4i 252	. . . . . . 7
53	52	baib 903	. . . . . 6
54	23, 34, 53	syl2anc 661	. . . . 5
55	27, 1	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
56	55	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
57		f1f1orn 5832	. . . . . . . . . . 11
58	3, 57	syl 16	. . . . . . . . . 10
59		f1ocnvfv1 6182	. . . . . . . . . 10
60	58, 14, 59	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
61	60	adantr 465	. . . . . . . 8
62	56, 61	eqtrd 2498	. . . . . . 7
63	62	eleq2d 2527	. . . . . 6
64	63	notbid 294	. . . . 5
65	54, 64	bitrd 253	. . . 4
66	65	ex 434	. . 3
67	17, 66	mtoi 178	. 2
68	16, 67	eldifd 3486	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  \cdif 3472  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Wewwe 4842  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  cmap 7439  cdom 7534

This theorem is referenced by:  pwfseqlem3  9059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601