Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfseqlem3 Unicode version

Theorem pwfseqlem3 9059
 Description: Lemma for pwfseq 9063. Using the construction from pwfseqlem1 9057, produce a function that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g
pwfseqlem4.x
pwfseqlem4.h
pwfseqlem4.ps
pwfseqlem4.k
pwfseqlem4.d
pwfseqlem4.f
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,,

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . 4
2 vex 3112 . . . 4
3 fvex 5881 . . . . 5
4 fvex 5881 . . . . 5
53, 4ifex 4010 . . . 4
6 pwfseqlem4.f . . . . 5
76ovmpt4g 6425 . . . 4
81, 2, 5, 7mp3an 1324 . . 3
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8
109simprbi 464 . . . . . . 7
1110adantl 466 . . . . . 6
12 domnsym 7663 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 isfinite 8090 . . . . 5
1513, 14sylnibr 305 . . . 4
1615iffalsed 3952 . . 3
178, 16syl5eq 2510 . 2
18 pwfseqlem4.g . . . . . . 7
19 pwfseqlem4.x . . . . . . 7
20 pwfseqlem4.h . . . . . . 7
21 pwfseqlem4.k . . . . . . 7
22 pwfseqlem4.d . . . . . . 7
2318, 19, 20, 9, 21, 22pwfseqlem1 9057 . . . . . 6
24 eldif 3485 . . . . . 6
2523, 24sylib 196 . . . . 5
2625simpld 459 . . . 4
27 eliun 4335 . . . 4
2826, 27sylib 196 . . 3
29 elmapi 7460 . . . . . 6
3029ad2antll 728 . . . . 5
31 ssiun2 4373 . . . . . . . . 9
3231ad2antrl 727 . . . . . . . 8
3325simprd 463 . . . . . . . . 9
3433adantr 465 . . . . . . . 8
3532, 34ssneldd 3506 . . . . . . 7
36 vex 3112 . . . . . . . . 9
371, 36elmap 7467 . . . . . . . 8
38 ffn 5736 . . . . . . . . 9
39 ffnfv 6057 . . . . . . . . . 10
4039baib 903 . . . . . . . . 9
4130, 38, 403syl 20 . . . . . . . 8
4237, 41syl5bb 257 . . . . . . 7
4335, 42mtbid 300 . . . . . 6
44 nnon 6706 . . . . . . . . 9
4544ad2antrl 727 . . . . . . . 8
46 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
47 omsson 6704 . . . . . . . . . 10
4846, 47sstri 3512 . . . . . . . . 9
49 ordom 6709 . . . . . . . . . . . . 13
50 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
51 ordelss 4899 . . . . . . . . . . . . 13
5249, 50, 51sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
53 rexnal 2905 . . . . . . . . . . . . 13
5443, 53sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
55 ssrexv 3564 . . . . . . . . . . . 12
5652, 54, 55sylc 60 . . . . . . . . . . 11
57 rabn0 3805 . . . . . . . . . . 11
5856, 57sylibr 212 . . . . . . . . . 10
59 onint 6630 . . . . . . . . . 10
6048, 58, 59sylancr 663 . . . . . . . . 9
6148, 60sseldi 3501 . . . . . . . 8
62 ontri1 4917 . . . . . . . 8
6345, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . 7
64 ssintrab 4310 . . . . . . . 8
65 nnon 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
66 ontri1 4917 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6744, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
69 con34b 292 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 69syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13
7170pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12
72 bi2.04 361 . . . . . . . . . . . 12
7371, 72syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
74 elnn 6710 . . . . . . . . . . . . . 14
75 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7776expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
7877a2d 26 . . . . . . . . . . 11
7973, 78sylbid 215 . . . . . . . . . 10
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
8180ralimdv2 2864 . . . . . . . 8
8264, 81syl5bi 217 . . . . . . 7
8363, 82sylbird 235 . . . . . 6
8443, 83mt3d 125 . . . . 5
8530, 84ffvelrnd 6032 . . . 4
86 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
8786eleq1d 2526 . . . . . . . 8
8887notbid 294 . . . . . . 7
89 fveq2 5871 . . . . . . . . . 10
9089eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
9190notbid 294 . . . . . . . 8
9291cbvrabv 3108 . . . . . . 7
9388, 92elrab2 3259 . . . . . 6
9493simprbi 464 . . . . 5
9560, 94syl 16 . . . 4
9685, 95eldifd 3486 . . 3
9728, 96rexlimddv 2953 . 2
9817, 97eqeltrd 2545 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475   c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  X.cxp 5002  'ccnv 5003  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   cmap 7439   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337 This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  9060  pwfseqlem4  9061 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
 Copyright terms: Public domain W3C validator