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Theorem pwfseqlem4 9061
Description: Lemma for pwfseq 9063. Derive a final contradiction from the function in pwfseqlem3 9059. Applying fpwwe2 9042 to it, we get a certain maximal well-ordered subset , but the defining property contradicts our assumption on , so we are reduced to the case of finite. This too is a contradiction, though, because and its preimage under are distinct sets of the same cardinality and in a subset relation, which is impossible for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g
pwfseqlem4.x
pwfseqlem4.h
pwfseqlem4.ps
pwfseqlem4.k
pwfseqlem4.d
pwfseqlem4.f
pwfseqlem4.w
pwfseqlem4.z
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem4
Distinct variable groups:   , , , ,   , ,   , , , ,   ,   ,   , , , , , , ,   , , , , , , , ,   , ,   , , , , , ,   , , , ,   , , , ,

Proof of Theorem pwfseqlem4
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
2 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
31, 2pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10
4 pwfseqlem4.w . . . . . . . . . . 11
5 pwfseqlem4.g . . . . . . . . . . . . 13
6 omex 8081 . . . . . . . . . . . . . 14
7 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7iunex 6780 . . . . . . . . . . . . 13
9 f1dmex 6770 . . . . . . . . . . . . 13
105, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
11 pwexb 6611 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
13 pwfseqlem4.x . . . . . . . . . . . 12
14 pwfseqlem4.h . . . . . . . . . . . 12
15 pwfseqlem4.ps . . . . . . . . . . . 12
16 pwfseqlem4.k . . . . . . . . . . . 12
17 pwfseqlem4.d . . . . . . . . . . . 12
18 pwfseqlem4.f . . . . . . . . . . . 12
195, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem4a 9060 . . . . . . . . . . 11
20 pwfseqlem4.z . . . . . . . . . . 11
214, 12, 19, 20fpwwe2 9042 . . . . . . . . . 10
223, 21mpbiri 233 . . . . . . . . 9
2322simprd 463 . . . . . . . 8
2422simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13
254, 12fpwwe2lem2 9031 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
2726simpld 459 . . . . . . . . . . 11
2827simpld 459 . . . . . . . . . 10
2912, 28ssexd 4599 . . . . . . . . 9
30 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . 14
31 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231sqxpeqd 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . 14
34 weeq2 4873 . . . . . . . . . . . . . 14
3530, 33, 343anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . 13
3635anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38373expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
4026, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
4140pm4.71i 632 . . . . . . . . . . . 12
4236, 41syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11
43 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
4443, 31eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . 12
45 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
4742, 46imbi12d 320 . . . . . . . . . 10
48 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
49 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . 14
50 weeq1 4872 . . . . . . . . . . . . . 14
5149, 503anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . 13
5251anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
53 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
5453eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
5554imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12
5652, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
57 omelon 8084 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
60 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 19.8a 1857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 ween 8437 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
65 domtri2 8391 . . . . . . . . . . . . . 14
6659, 64, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
67 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 nfmpt22 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7018, 69nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7268, 70, 71nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7372nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7467, 73nfim 1920 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76 weeq1 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7775, 763anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
80 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8279, 81imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 nfmpt21 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8618, 85nfcxfr 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8884, 86, 87nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9083, 89nfim 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
91 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
92 xpeq12 5023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9392anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9493sseq2d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95 weeq2 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9691, 94, 953anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9896, 97anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9915, 98syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 difeq2 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103101, 102eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104100, 103imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1055, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem3 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10690, 104, 105chvar 2013 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10774, 82, 106chvar 2013 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107eldifbd 3488 . . . . . . . . . . . . . 14
109108expr 615 . . . . . . . . . . . . 13
11066, 109sylbird 235 . . . . . . . . . . . 12
111110con4d 105 . . . . . . . . . . 11
11248, 56, 111vtocl 3161 . . . . . . . . . 10
11347, 112vtoclg 3167 . . . . . . . . 9
11429, 113mpcom 36 . . . . . . . 8
11523, 114mpd 15 . . . . . . 7
116 isfinite 8090 . . . . . . 7
117115, 116sylibr 212 . . . . . 6
1185, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem2 9058 . . . . . 6
119117, 48, 118sylancl 662 . . . . 5
120119, 23eqeltrrd 2546 . . . 4
1214, 12, 24fpwwe2lem3 9032 . . . . . . . . . 10
122120, 121mpdan 668 . . . . . . . . 9
123 cnvimass 5362 . . . . . . . . . . . 12
12427simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
125 dmss 5207 . . . . . . . . . . . . . 14
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
127 dmxpss 5443 . . . . . . . . . . . . 13
128126, 127syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . 12
129123, 128syl5ss 3514 . . . . . . . . . . 11
130 ssfi 7760 . . . . . . . . . . 11
131117, 129, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
13248inex1 4593 . . . . . . . . . 10
1335, 13, 14, 15, 16, 17, 18pwfseqlem2 9058 . . . . . . . . . 10
134131, 132, 133sylancl 662 . . . . . . . . 9
135122, 134eqtr3d 2500 . . . . . . . 8
136 f1of1 5820 . . . . . . . . . 10
13714, 136syl 16 . . . . . . . . 9
138 ficardom 8363 . . . . . . . . . 10
139117, 138syl 16 . . . . . . . . 9
140 ficardom 8363 . . . . . . . . . 10
141131, 140syl 16 . . . . . . . . 9
142 f1fveq 6170 . . . . . . . . 9
143137, 139, 141, 142syl12anc 1226 . . . . . . . 8
144135, 143mpbid 210 . . . . . . 7
145144eqcomd 2465 . . . . . 6
146 finnum 8350 . . . . . . . 8
147131, 146syl 16 . . . . . . 7
148 finnum 8350 . . . . . . . 8
149117, 148syl 16 . . . . . . 7
150 carden2 8389 . . . . . . 7
151147, 149, 150syl2anc 661 . . . . . 6
152145, 151mpbid 210 . . . . 5
153 dfpss2 3588 . . . . . . . 8
154153baib 903 . . . . . . 7
155129, 154syl 16 . . . . . 6
156 php3 7723 . . . . . . . . 9
157 sdomnen 7564 . . . . . . . . 9
158156, 157syl 16 . . . . . . . 8
159158ex 434 . . . . . . 7
160117, 159syl 16 . . . . . 6
161155, 160sylbird 235 . . . . 5
162152, 161mt4d 138 . . . 4
163120, 162eleqtrrd 2548 . . 3
164 fvex 5881 . . . 4
165164eliniseg 5371 . . . 4
166164, 165ax-mp 5 . . 3
167163, 166sylib 196 . 2
16826simprd 463 . . . . 5
169168simpld 459 . . . 4
170 weso 4875 . . . 4
171169, 170syl 16 . . 3
172 sonr 4826 . . 3
173171, 120, 172syl2anc 661 . 2
174167, 173pm2.65i 173 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811   cvv 3109  [.wsbc 3327  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  {copab 4509  Orwor 4804  Wewwe 4842   con0 4883  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  pwfseqlem5  9062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341
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