Theorem pwfseqlem5 9062

Description: Lemma for pwfseq 9063. Although in some ways pwfseqlem4 9061 is the "main" part of the proof, one last aspect which makes up a remark in the original text is by far the hardest part to formalize. The main proof relies on the existence of an injection from the set of finite sequences on an infinite set to . Now this alone would not be difficult to prove; this is mostly the claim of fseqen 8429. However, what is needed for the proof is a canonical injection on these sets, so we have to start from scratch pulling together explicit bijections from the lemmas.

If one attempts such a program, it will mostly go through, but there is one key step which is inherently nonconstructive, namely the proof of infxpen 8413. The resolution is not obvious, but it turns out that reversing an infinite ordinal's Cantor normal form absorbs all the non-leading terms (cnfcom3c 8171), which can be used to construct a pairing function explicitly using properties of the ordinal exponential (infxpenc 8416). (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfseqlem5.g
pwfseqlem5.x
pwfseqlem5.h
pwfseqlem5.ps
pwfseqlem5.n
pwfseqlem5.o
pwfseqlem5.t
pwfseqlem5.p
pwfseqlem5.s
pwfseqlem5.q
pwfseqlem5.i
pwfseqlem5.k

Assertion

Ref	Expression
pwfseqlem5

Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,P   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,   N,   ,,,,   S,,   ,,,,   O,,,,,

Proof of Theorem pwfseqlem5

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfseqlem5.g	. 2
2		pwfseqlem5.x	. 2
3		pwfseqlem5.h	. 2
4		pwfseqlem5.ps	. 2
5		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
6		simprl3 1043	. . . . . . . . . . . 12
7	4, 6	sylan2b 475	. . . . . . . . . . 11
8		pwfseqlem5.o	. . . . . . . . . . . 12
9	8	oiiso 7983	. . . . . . . . . . 11
10	5, 7, 9	sylancr 663	. . . . . . . . . 10
11		isof1o 6221	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . 9
13	8	oion 7982	. . . . . . . . . . . . 13
14	5, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
16	8	oien 7984	. . . . . . . . . . . . 13
17	5, 7, 16	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12
18	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		omex 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	19, 20	iunex 6780	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		f1dmex 6770	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	18, 21, 22	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15
24		pwexb 6611	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	23, 24	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14
26		simprl1 1041	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	4, 26	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . . . 14
28		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . 14
29	25, 27, 28	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13
30		canth2g 7691	. . . . . . . . . . . . . 14
31		sdomdom 7563	. . . . . . . . . . . . . 14
32	25, 30, 31	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13
33		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . 13
34	29, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
35		endomtr 7593	. . . . . . . . . . . 12
36	17, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
37		elharval 8010	. . . . . . . . . . 11
38	15, 36, 37	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10
39		pwfseqlem5.n	. . . . . . . . . . 11
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10
41		cardom 8388	. . . . . . . . . . . 12
42		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	4, 42	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . . . 14
44	17	ensymd 7586	. . . . . . . . . . . . . 14
45		domentr 7594	. . . . . . . . . . . . . 14
46	43, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13
47		omelon 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15
48		onenon 8351	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
50		onenon 8351	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	14, 50	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14
52		carddom2 8379	. . . . . . . . . . . . . 14
53	49, 51, 52	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13
54	46, 53	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12
55	41, 54	syl5eqssr 3548	. . . . . . . . . . 11
56		cardonle 8359	. . . . . . . . . . . 12
57	15, 56	syl 16	. . . . . . . . . . 11
58	55, 57	sstrd 3513	. . . . . . . . . 10
59		sseq2 3525	. . . . . . . . . . . 12
60		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . 14
61		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . . 14
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
63		xpeq12 5023	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	63	anidms 645	. . . . . . . . . . . . . 14
65		f1oeq2 5813	. . . . . . . . . . . . . 14
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
67		f1oeq3 5814	. . . . . . . . . . . . 13
68	62, 66, 67	3bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12
69	59, 68	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11
70	69	rspcv 3206	. . . . . . . . . 10
71	38, 40, 58, 70	syl3c 61	. . . . . . . . 9
72		f1oco 5843	. . . . . . . . 9
73	12, 71, 72	syl2anc 661	. . . . . . . 8
74		f1of 5821	. . . . . . . . . . . . . . 15
75	12, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
76	75	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . . . 13
77		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . 13
78	76, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
79	12, 78	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
80	75	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . . . 13
81		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . . . 13
82	80, 81	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
83	12, 82	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
84	79, 83	xpf1o 7699	. . . . . . . . . 10
85		pwfseqlem5.t	. . . . . . . . . . 11
86		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . 11
87	85, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
88	84, 87	sylibr 212	. . . . . . . . 9
89		f1ocnv 5833	. . . . . . . . 9
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . 8
91		f1oco 5843	. . . . . . . 8
92	73, 90, 91	syl2anc 661	. . . . . . 7
93		pwfseqlem5.p	. . . . . . . 8
94		f1oeq1 5812	. . . . . . . 8
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . 7
96	92, 95	sylibr 212	. . . . . 6
97		f1of1 5820	. . . . . 6
98	96, 97	syl 16	. . . . 5
99		f1of1 5820	. . . . . . . . . . . . 13
100	12, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
101		f1ssres 5793	. . . . . . . . . . . 12
102	100, 58, 101	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
103		f1f1orn 5832	. . . . . . . . . . 11
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . 10
105	75, 58	feqresmpt 5927	. . . . . . . . . . 11
106		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . 11
107	105, 106	syl 16	. . . . . . . . . 10
108	104, 107	mpbid 210	. . . . . . . . 9
109		mptresid 5333	. . . . . . . . . 10
110		f1oi 5856	. . . . . . . . . . 11
111		f1oeq1 5812	. . . . . . . . . . 11
112	110, 111	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10
113	109, 112	mp1i 12	. . . . . . . . 9
114	108, 113	xpf1o 7699	. . . . . . . 8
115		pwfseqlem5.i	. . . . . . . . 9
116		f1oeq1 5812	. . . . . . . . 9
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . 8
118	114, 117	sylibr 212	. . . . . . 7
119		f1of1 5820	. . . . . . 7
120	118, 119	syl 16	. . . . . 6
121		f1f 5786	. . . . . . 7
122		frn 5742	. . . . . . 7
123		xpss1 5116	. . . . . . 7
124	102, 121, 122, 123	4syl 21	. . . . . 6
125		f1ss 5791	. . . . . 6
126	120, 124, 125	syl2anc 661	. . . . 5
127		f1co 5795	. . . . 5
128	98, 126, 127	syl2anc 661	. . . 4
129	5	a1i 11	. . . . 5
130		peano1 6719	. . . . . . . 8
131	130	a1i 11	. . . . . . 7
132	58, 131	sseldd 3504	. . . . . 6
133	75, 132	ffvelrnd 6032	. . . . 5
134		pwfseqlem5.s	. . . . 5
135		pwfseqlem5.q	. . . . 5
136	129, 133, 96, 134, 135	fseqenlem2 8427	. . . 4
137		f1co 5795	. . . 4
138	128, 136, 137	syl2anc 661	. . 3
139		pwfseqlem5.k	. . . 4
140		f1eq1 5781	. . . 4
141	139, 140	ax-mp 5	. . 3
142	138, 141	sylibr 212	. 2
143		eqid 2457	. 2
144		eqid 2457	. 2
145		eqid 2457	. . 3
146	145	fpwwe2cbv 9029	. 2
147		eqid 2457	. 2
148	1, 2, 3, 4, 142, 143, 144, 146, 147	pwfseqlem4 9061	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  cvv 3109  [.wsbc 3327  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  |^|cint 4286  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  {copab 4509  e.cmpt 4510  cep 4794  cid 4795  Wewwe 4842  con0 4883  succsuc 4885  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  seqomcseqom 7131  cmap 7439  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cfn 7536  OrdIsocoi 7955  char 8003  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  pwfseq  9063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-har 8005  df-card 8341