MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1mhm Unicode version

Theorem pwsco1mhm 15437
Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y
pwsco1mhm.z
pwsco1mhm.c
pwsco1mhm.r
pwsco1mhm.a
pwsco1mhm.b
pwsco1mhm.f
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . . 4
2 pwsco1mhm.b . . . 4
3 pwsco1mhm.z . . . . 5
43pwsmnd 15396 . . . 4
51, 2, 4syl2anc 646 . . 3
6 pwsco1mhm.a . . . 4
7 pwsco1mhm.y . . . . 5
87pwsmnd 15396 . . . 4
91, 6, 8syl2anc 646 . . 3
105, 9jca 522 . 2
11 eqid 2422 . . . . . . . . 9
12 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9
133, 11, 12pwselbasb 14366 . . . . . . . 8
141, 2, 13syl2anc 646 . . . . . . 7
1514biimpa 474 . . . . . 6
16 pwsco1mhm.f . . . . . . 7
1716adantr 455 . . . . . 6
18 fco 5538 . . . . . 6
1915, 17, 18syl2anc 646 . . . . 5
20 eqid 2422 . . . . . . . 8
217, 11, 20pwselbasb 14366 . . . . . . 7
221, 6, 21syl2anc 646 . . . . . 6
2322adantr 455 . . . . 5
2419, 23mpbird 226 . . . 4
25 eqid 2422 . . . 4
2624, 25fmptd 5837 . . 3
276adantr 455 . . . . . . 7
28 fvex 5671 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
30 fvex 5671 . . . . . . . 8
3130a1i 11 . . . . . . 7
3216adantr 455 . . . . . . . . 9
3332ffvelrnda 5813 . . . . . . . 8
3432feqmptd 5714 . . . . . . . 8
351adantr 455 . . . . . . . . . 10
362adantr 455 . . . . . . . . . 10
37 simprl 740 . . . . . . . . . 10
383, 11, 12, 35, 36, 37pwselbas 14367 . . . . . . . . 9
3938feqmptd 5714 . . . . . . . 8
40 fveq2 5661 . . . . . . . 8
4133, 34, 39, 40fmptco 5845 . . . . . . 7
42 simprr 741 . . . . . . . . . 10
433, 11, 12, 35, 36, 42pwselbas 14367 . . . . . . . . 9
4443feqmptd 5714 . . . . . . . 8
45 fveq2 5661 . . . . . . . 8
4633, 34, 44, 45fmptco 5845 . . . . . . 7
4727, 29, 31, 41, 46offval2 6306 . . . . . 6
48 fco 5538 . . . . . . . . 9
4938, 32, 48syl2anc 646 . . . . . . . 8
507, 11, 20pwselbasb 14366 . . . . . . . . 9
5135, 27, 50syl2anc 646 . . . . . . . 8
5249, 51mpbird 226 . . . . . . 7
53 fco 5538 . . . . . . . . 9
5443, 32, 53syl2anc 646 . . . . . . . 8
557, 11, 20pwselbasb 14366 . . . . . . . . 9
5635, 27, 55syl2anc 646 . . . . . . . 8
5754, 56mpbird 226 . . . . . . 7
58 eqid 2422 . . . . . . 7
59 eqid 2422 . . . . . . 7
607, 20, 35, 27, 52, 57, 58, 59pwsplusgval 14368 . . . . . 6
61 eqid 2422 . . . . . . . . 9
623, 12, 35, 36, 37, 42, 58, 61pwsplusgval 14368 . . . . . . . 8
63 fvex 5671 . . . . . . . . . 10
6463a1i 11 . . . . . . . . 9
65 fvex 5671 . . . . . . . . . 10
6665a1i 11 . . . . . . . . 9
6736, 64, 66, 39, 44offval2 6306 . . . . . . . 8
6862, 67eqtrd 2454 . . . . . . 7
6940, 45oveq12d 6079 . . . . . . 7
7033, 34, 68, 69fmptco 5845 . . . . . 6
7147, 60, 703eqtr4rd 2465 . . . . 5
7212, 61mndcl 15360 . . . . . . . 8
73723expb 1173 . . . . . . 7
745, 73sylan 461 . . . . . 6
75 ovex 6086 . . . . . . 7
76 fex 5918 . . . . . . . . 9
7716, 6, 76syl2anc 646 . . . . . . . 8
7877adantr 455 . . . . . . 7
79 coexg 6497 . . . . . . 7
8075, 78, 79sylancr 648 . . . . . 6
81 coeq1 4968 . . . . . . 7
8281, 25fvmptg 5742 . . . . . 6
8374, 80, 82syl2anc 646 . . . . 5
84 coexg 6497 . . . . . . . 8
8537, 78, 84syl2anc 646 . . . . . . 7
86 coeq1 4968 . . . . . . . 8
8786, 25fvmptg 5742 . . . . . . 7
8837, 85, 87syl2anc 646 . . . . . 6
89 coexg 6497 . . . . . . . 8
9042, 78, 89syl2anc 646 . . . . . . 7
91 coeq1 4968 . . . . . . . 8
9291, 25fvmptg 5742 . . . . . . 7
9342, 90, 92syl2anc 646 . . . . . 6
9488, 93oveq12d 6079 . . . . 5
9571, 83, 943eqtr4d 2464 . . . 4
9695ralrimivva 2787 . . 3
97 eqid 2422 . . . . . . 7
9812, 97mndidcl 15379 . . . . . 6
995, 98syl 16 . . . . 5
100 coexg 6497 . . . . . 6
10199, 77, 100syl2anc 646 . . . . 5
102 coeq1 4968 . . . . . 6
103102, 25fvmptg 5742 . . . . 5
10499, 101, 103syl2anc 646 . . . 4
1053, 11, 12, 1, 2, 99pwselbas 14367 . . . . . . 7
106 fco 5538 . . . . . . 7
107105, 16, 106syl2anc 646 . . . . . 6
108 ffn 5529 . . . . . 6
109107, 108syl 16 . . . . 5
110 fvex 5671 . . . . . . 7
111110a1i 11 . . . . . 6
112 fnconstg 5568 . . . . . 6
113111, 112syl 16 . . . . 5
114 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
1153, 114pws0g 15397 . . . . . . . . . 10
1161, 2, 115syl2anc 646 . . . . . . . . 9
117116fveq1d 5663 . . . . . . . 8
118117adantr 455 . . . . . . 7
11916ffvelrnda 5813 . . . . . . . 8
120 fvconst2g 5900 . . . . . . . 8
121110, 119, 120sylancr 648 . . . . . . 7
122118, 121eqtr3d 2456 . . . . . 6
123 fvco3 5738 . . . . . . 7
12416, 123sylan 461 . . . . . 6
125 fvconst2g 5900 . . . . . . 7
126111, 125sylan 461 . . . . . 6
127122, 124, 1263eqtr4d 2464 . . . . 5
128109, 113, 127eqfnfvd 5770 . . . 4
1297, 114pws0g 15397 . . . . 5
1301, 6, 129syl2anc 646 . . . 4
131104, 128, 1303eqtrd 2458 . . 3
13226, 96, 1313jca 1153 . 2
133 eqid 2422 . . 3
13412, 20, 61, 59, 97, 133ismhm 15406 . 2
13510, 132, 134sylanbrc 649 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694   cvv 2951  {csn 3853  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  o.ccom 4815  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  oFcof 6288   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cpws 14325   cmnd 15349   cmhm 15402
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  16643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-hom 14202  df-cco 14203  df-0g 14320  df-prds 14326  df-pws 14328  df-mnd 15355  df-mhm 15404
  Copyright terms: Public domain W3C validator