Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco1mhm Unicode version

Theorem pwsco1mhm 15657
 Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y
pwsco1mhm.z
pwsco1mhm.c
pwsco1mhm.r
pwsco1mhm.a
pwsco1mhm.b
pwsco1mhm.f
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . . 4
2 pwsco1mhm.b . . . 4
3 pwsco1mhm.z . . . . 5
43pwsmnd 15615 . . . 4
51, 2, 4syl2anc 661 . . 3
6 pwsco1mhm.a . . . 4
7 pwsco1mhm.y . . . . 5
87pwsmnd 15615 . . . 4
91, 6, 8syl2anc 661 . . 3
105, 9jca 532 . 2
11 eqid 2454 . . . . . . . . 9
12 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9
133, 11, 12pwselbasb 14585 . . . . . . . 8
141, 2, 13syl2anc 661 . . . . . . 7
1514biimpa 484 . . . . . 6
16 pwsco1mhm.f . . . . . . 7
1716adantr 465 . . . . . 6
18 fco 5689 . . . . . 6
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5
20 eqid 2454 . . . . . . . 8
217, 11, 20pwselbasb 14585 . . . . . . 7
221, 6, 21syl2anc 661 . . . . . 6
2322adantr 465 . . . . 5
2419, 23mpbird 232 . . . 4
25 eqid 2454 . . . 4
2624, 25fmptd 5990 . . 3
276adantr 465 . . . . . . 7
28 fvex 5823 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
30 fvex 5823 . . . . . . . 8
3130a1i 11 . . . . . . 7
3216adantr 465 . . . . . . . . 9
3332ffvelrnda 5966 . . . . . . . 8
3432feqmptd 5867 . . . . . . . 8
351adantr 465 . . . . . . . . . 10
362adantr 465 . . . . . . . . . 10
37 simprl 755 . . . . . . . . . 10
383, 11, 12, 35, 36, 37pwselbas 14586 . . . . . . . . 9
3938feqmptd 5867 . . . . . . . 8
40 fveq2 5813 . . . . . . . 8
4133, 34, 39, 40fmptco 5999 . . . . . . 7
42 simprr 756 . . . . . . . . . 10
433, 11, 12, 35, 36, 42pwselbas 14586 . . . . . . . . 9
4443feqmptd 5867 . . . . . . . 8
45 fveq2 5813 . . . . . . . 8
4633, 34, 44, 45fmptco 5999 . . . . . . 7
4727, 29, 31, 41, 46offval2 6469 . . . . . 6
48 fco 5689 . . . . . . . . 9
4938, 32, 48syl2anc 661 . . . . . . . 8
507, 11, 20pwselbasb 14585 . . . . . . . . 9
5135, 27, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8
5249, 51mpbird 232 . . . . . . 7
53 fco 5689 . . . . . . . . 9
5443, 32, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8
557, 11, 20pwselbasb 14585 . . . . . . . . 9
5635, 27, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8
5754, 56mpbird 232 . . . . . . 7
58 eqid 2454 . . . . . . 7
59 eqid 2454 . . . . . . 7
607, 20, 35, 27, 52, 57, 58, 59pwsplusgval 14587 . . . . . 6
61 eqid 2454 . . . . . . . . 9
623, 12, 35, 36, 37, 42, 58, 61pwsplusgval 14587 . . . . . . . 8
63 fvex 5823 . . . . . . . . . 10
6463a1i 11 . . . . . . . . 9
65 fvex 5823 . . . . . . . . . 10
6665a1i 11 . . . . . . . . 9
6736, 64, 66, 39, 44offval2 6469 . . . . . . . 8
6862, 67eqtrd 2495 . . . . . . 7
6940, 45oveq12d 6240 . . . . . . 7
7033, 34, 68, 69fmptco 5999 . . . . . 6
7147, 60, 703eqtr4rd 2506 . . . . 5
7212, 61mndcl 15579 . . . . . . . 8
73723expb 1189 . . . . . . 7
745, 73sylan 471 . . . . . 6
75 ovex 6247 . . . . . . 7
76 fex 6075 . . . . . . . . 9
7716, 6, 76syl2anc 661 . . . . . . . 8
7877adantr 465 . . . . . . 7
79 coexg 6661 . . . . . . 7
8075, 78, 79sylancr 663 . . . . . 6
81 coeq1 5114 . . . . . . 7
8281, 25fvmptg 5895 . . . . . 6
8374, 80, 82syl2anc 661 . . . . 5
84 coexg 6661 . . . . . . . 8
8537, 78, 84syl2anc 661 . . . . . . 7
86 coeq1 5114 . . . . . . . 8
8786, 25fvmptg 5895 . . . . . . 7
8837, 85, 87syl2anc 661 . . . . . 6
89 coexg 6661 . . . . . . . 8
9042, 78, 89syl2anc 661 . . . . . . 7
91 coeq1 5114 . . . . . . . 8
9291, 25fvmptg 5895 . . . . . . 7
9342, 90, 92syl2anc 661 . . . . . 6
9488, 93oveq12d 6240 . . . . 5
9571, 83, 943eqtr4d 2505 . . . 4
9695ralrimivva 2916 . . 3
97 eqid 2454 . . . . . . 7
9812, 97mndidcl 15598 . . . . . 6
995, 98syl 16 . . . . 5
100 coexg 6661 . . . . . 6
10199, 77, 100syl2anc 661 . . . . 5
102 coeq1 5114 . . . . . 6
103102, 25fvmptg 5895 . . . . 5
10499, 101, 103syl2anc 661 . . . 4
1053, 11, 12, 1, 2, 99pwselbas 14586 . . . . . . 7
106 fco 5689 . . . . . . 7
107105, 16, 106syl2anc 661 . . . . . 6
108 ffn 5679 . . . . . 6
109107, 108syl 16 . . . . 5
110 fvex 5823 . . . . . . 7
111110a1i 11 . . . . . 6
112 fnconstg 5720 . . . . . 6
113111, 112syl 16 . . . . 5
114 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
1153, 114pws0g 15616 . . . . . . . . . 10
1161, 2, 115syl2anc 661 . . . . . . . . 9
117116fveq1d 5815 . . . . . . . 8
118117adantr 465 . . . . . . 7
11916ffvelrnda 5966 . . . . . . . 8
120 fvconst2g 6056 . . . . . . . 8
121110, 119, 120sylancr 663 . . . . . . 7
122118, 121eqtr3d 2497 . . . . . 6
123 fvco3 5891 . . . . . . 7
12416, 123sylan 471 . . . . . 6
125 fvconst2g 6056 . . . . . . 7
126111, 125sylan 471 . . . . . 6
127122, 124, 1263eqtr4d 2505 . . . . 5
128109, 113, 127eqfnfvd 5923 . . . 4
1297, 114pws0g 15616 . . . . 5
1301, 6, 129syl2anc 661 . . . 4
131104, 128, 1303eqtrd 2499 . . 3
13226, 96, 1313jca 1168 . 2
133 eqid 2454 . . 3
13412, 20, 61, 59, 97, 133ismhm 15625 . 2
13510, 132, 134sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   cvv 3081  {csn 3993  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  o.ccom 4961  Fnwfn 5532  -->wf 5533  cfv 5537  (class class class)co 6222  oF`cof 6451   cbs 14332   cplusg 14397   c0g 14537   cpws 14544   cmnd 15568   cmhm 15621 This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  17002 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-of 6453  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-hom 14421  df-cco 14422  df-0g 14539  df-prds 14545  df-pws 14547  df-mnd 15574  df-mhm 15623
 Copyright terms: Public domain W3C validator