MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagmhm Unicode version

Theorem pwsdiagmhm 15583
Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagmhm.y
pwsdiagmhm.b
pwsdiagmhm.f
Assertion
Ref Expression
pwsdiagmhm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,I   ,   ,

Proof of Theorem pwsdiagmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3
2 pwsdiagmhm.y . . . 4
32pwsmnd 15542 . . 3
41, 3jca 532 . 2
5 pwsdiagmhm.b . . . . . . 7
6 fvex 5783 . . . . . . 7
75, 6eqeltri 2532 . . . . . 6
8 pwsdiagmhm.f . . . . . . 7
98fdiagfn 7340 . . . . . 6
107, 9mpan 670 . . . . 5
1110adantl 466 . . . 4
122, 5pwsbas 14511 . . . . 5
13 feq3 5626 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1511, 14mpbid 210 . . 3
16 simplr 754 . . . . . 6
17 eqid 2450 . . . . . . . . 9
185, 17mndcl 15506 . . . . . . . 8
19183expb 1189 . . . . . . 7
2019adantlr 714 . . . . . 6
218fvdiagfn 7341 . . . . . 6
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5
238fvdiagfn 7341 . . . . . . . . 9
248fvdiagfn 7341 . . . . . . . . 9
2523, 24oveqan12d 6193 . . . . . . . 8
2625anandis 826 . . . . . . 7
2726adantll 713 . . . . . 6
28 eqid 2450 . . . . . . 7
29 simpll 753 . . . . . . 7
302, 5, 28pwsdiagel 14521 . . . . . . . 8
3130adantrr 716 . . . . . . 7
322, 5, 28pwsdiagel 14521 . . . . . . . 8
3332adantrl 715 . . . . . . 7
34 eqid 2450 . . . . . . 7
352, 28, 29, 16, 31, 33, 17, 34pwsplusgval 14514 . . . . . 6
36 id 22 . . . . . . . 8
37 vex 3055 . . . . . . . . 9
3837a1i 11 . . . . . . . 8
39 vex 3055 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
4136, 38, 40ofc12 6429 . . . . . . 7
4241ad2antlr 726 . . . . . 6
4327, 35, 423eqtrd 2494 . . . . 5
4422, 43eqtr4d 2493 . . . 4
4544ralrimivva 2888 . . 3
46 simpr 461 . . . . 5
47 eqid 2450 . . . . . . 7
485, 47mndidcl 15525 . . . . . 6
4948adantr 465 . . . . 5
508fvdiagfn 7341 . . . . 5
5146, 49, 50syl2anc 661 . . . 4
522, 47pws0g 15543 . . . 4
5351, 52eqtrd 2490 . . 3
5415, 45, 533jca 1168 . 2
55 eqid 2450 . . 3
565, 28, 17, 34, 47, 55ismhm 15552 . 2
574, 54, 56sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757  A.wral 2792   cvv 3052  {csn 3959  e.cmpt 4432  X.cxp 4920  -->wf 5496  `cfv 5500  (class class class)co 6174  oFcof 6402   cmap 7298   cbs 14260   cplusg 14324   c0g 14464   cpws 14471   cmnd 15495   cmhm 15548
This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  15860  pwsdiagrhm  16988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-of 6404  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-oadd 7008  df-er 7185  df-map 7300  df-ixp 7348  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-sup 7776  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-4 10467  df-5 10468  df-6 10469  df-7 10470  df-8 10471  df-9 10472  df-10 10473  df-n0 10665  df-z 10732  df-dec 10841  df-uz 10947  df-fz 11523  df-struct 14262  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-plusg 14337  df-mulr 14338  df-sca 14340  df-vsca 14341  df-ip 14342  df-tset 14343  df-ple 14344  df-ds 14346  df-hom 14348  df-cco 14349  df-0g 14466  df-prds 14472  df-pws 14474  df-mnd 15501  df-mhm 15550
  Copyright terms: Public domain W3C validator