Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagmhm Unicode version

Theorem pwsdiagmhm 15436
 Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagmhm.y
pwsdiagmhm.b
pwsdiagmhm.f
Assertion
Ref Expression
pwsdiagmhm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,I   ,   ,

Proof of Theorem pwsdiagmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 447 . . 3
2 pwsdiagmhm.y . . . 4
32pwsmnd 15396 . . 3
41, 3jca 522 . 2
5 pwsdiagmhm.b . . . . . . 7
6 fvex 5671 . . . . . . 7
75, 6eqeltri 2492 . . . . . 6
8 pwsdiagmhm.f . . . . . . 7
98fdiagfn 7215 . . . . . 6
107, 9mpan 655 . . . . 5
1110adantl 456 . . . 4
122, 5pwsbas 14365 . . . . 5
13 feq3 5514 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1511, 14mpbid 204 . . 3
16 simplr 739 . . . . . 6
17 eqid 2422 . . . . . . . . 9
185, 17mndcl 15360 . . . . . . . 8
19183expb 1173 . . . . . . 7
2019adantlr 699 . . . . . 6
218fvdiagfn 7216 . . . . . 6
2216, 20, 21syl2anc 646 . . . . 5
238fvdiagfn 7216 . . . . . . . . 9
248fvdiagfn 7216 . . . . . . . . 9
2523, 24oveqan12d 6080 . . . . . . . 8
2625anandis 811 . . . . . . 7
2726adantll 698 . . . . . 6
28 eqid 2422 . . . . . . 7
29 simpll 738 . . . . . . 7
302, 5, 28pwsdiagel 14375 . . . . . . . 8
3130adantrr 701 . . . . . . 7
322, 5, 28pwsdiagel 14375 . . . . . . . 8
3332adantrl 700 . . . . . . 7
34 eqid 2422 . . . . . . 7
352, 28, 29, 16, 31, 33, 17, 34pwsplusgval 14368 . . . . . 6
36 id 21 . . . . . . . 8
37 vex 2954 . . . . . . . . 9
3837a1i 11 . . . . . . . 8
39 vex 2954 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
4136, 38, 40ofc12 6315 . . . . . . 7
4241ad2antlr 711 . . . . . 6
4327, 35, 423eqtrd 2458 . . . . 5
4422, 43eqtr4d 2457 . . . 4
4544ralrimivva 2787 . . 3
46 simpr 451 . . . . 5
47 eqid 2422 . . . . . . 7
485, 47mndidcl 15379 . . . . . 6
4948adantr 455 . . . . 5
508fvdiagfn 7216 . . . . 5
5146, 49, 50syl2anc 646 . . . 4
522, 47pws0g 15397 . . . 4
5351, 52eqtrd 2454 . . 3
5415, 45, 533jca 1153 . 2
55 eqid 2422 . . 3
565, 28, 17, 34, 47, 55ismhm 15406 . 2
574, 54, 56sylanbrc 649 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694   cvv 2951  {csn 3853  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  -->wf 5386  cfv 5390  (class class class)co 6061  oF`cof 6288   cmap 7175   cbs 14114   cplusg 14178   c0g 14318   cpws 14325   cmnd 15349   cmhm 15402 This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  15711  pwsdiagrhm  16711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-hom 14202  df-cco 14203  df-0g 14320  df-prds 14326  df-pws 14328  df-mnd 15355  df-mhm 15404
 Copyright terms: Public domain W3C validator