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Theorem pwsdompw 8605
Description: Lemma for domtriom 8844. This is the equinumerosity version of the algebraic identity sum_ e. (2 )=(2 ) 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
pwsdompw
Distinct variable group:   , ,

Proof of Theorem pwsdompw
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4948 . . . . 5
21raleqdv 3060 . . . 4
3 iuneq1 4344 . . . . 5
4 fveq2 5871 . . . . 5
53, 4breq12d 4465 . . . 4
62, 5imbi12d 320 . . 3
7 suceq 4948 . . . . 5
87raleqdv 3060 . . . 4
9 iuneq1 4344 . . . . 5
10 fveq2 5871 . . . . 5
119, 10breq12d 4465 . . . 4
128, 11imbi12d 320 . . 3
13 suceq 4948 . . . . 5
1413raleqdv 3060 . . . 4
15 iuneq1 4344 . . . . 5
16 fveq2 5871 . . . . 5
1715, 16breq12d 4465 . . . 4
1814, 17imbi12d 320 . . 3
19 0iun 4387 . . . 4
20 0ex 4582 . . . . . . 7
2120sucid 4962 . . . . . 6
22 fveq2 5871 . . . . . . . 8
23 pweq 4015 . . . . . . . 8
2422, 23breq12d 4465 . . . . . . 7
2524rspcv 3206 . . . . . 6
2621, 25ax-mp 5 . . . . 5
2720canth2 7690 . . . . . 6
28 ensym 7584 . . . . . 6
29 sdomentr 7671 . . . . . 6
3027, 28, 29sylancr 663 . . . . 5
3126, 30syl 16 . . . 4
3219, 31syl5eqbr 4485 . . 3
33 sssucid 4960 . . . . . . . . 9
34 ssralv 3563 . . . . . . . . 9
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8
36 pm2.27 39 . . . . . . . 8
3735, 36syl 16 . . . . . . 7
3837adantl 466 . . . . . 6
39 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13
4039sucid 4962 . . . . . . . . . . . 12
41 elelsuc 4955 . . . . . . . . . . . 12
42 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
43 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . 13
4544rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
4640, 41, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
47 cdaen 8574 . . . . . . . . . . 11
4846, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
49 pwcda1 8595 . . . . . . . . . . 11
50 nnord 6708 . . . . . . . . . . . . . 14
51 ordirr 4901 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
53 cda1en 8576 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12
55 pwen 7710 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11
57 entr 7587 . . . . . . . . . . 11
5849, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
59 entr 7587 . . . . . . . . . 10
6048, 58, 59syl2an 477 . . . . . . . . 9
6139sucex 6646 . . . . . . . . . . . . 13
6261sucid 4962 . . . . . . . . . . . 12
63 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
64 pweq 4015 . . . . . . . . . . . . . 14
6563, 64breq12d 4465 . . . . . . . . . . . . 13
6665rspcv 3206 . . . . . . . . . . . 12
6762, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
6867ensymd 7586 . . . . . . . . . 10
6968adantr 465 . . . . . . . . 9
70 entr 7587 . . . . . . . . 9
7160, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8
7271ancoms 453 . . . . . . 7
73 nnfi 7730 . . . . . . . . . . . 12
74 pwfi 7835 . . . . . . . . . . . . 13
75 isfinite 8090 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75bitri 249 . . . . . . . . . . . 12
7773, 76sylib 196 . . . . . . . . . . 11
78 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . . 11
7946, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . . . 10
80 isfinite 8090 . . . . . . . . . 10
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . 9
8281ancoms 453 . . . . . . . 8
8339, 42iunsuc 4965 . . . . . . . . . . 11
84 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . 13
8539, 84iunex 6780 . . . . . . . . . . . 12
86 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
87 uncdadom 8572 . . . . . . . . . . . 12
8885, 86, 87mp2an 672 . . . . . . . . . . 11
8983, 88eqbrtri 4471 . . . . . . . . . 10
90 sdomtr 7675 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9180, 90sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 isfinite 8090 . . . . . . . . . . . . . . 15
9391, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
94 finnum 8350 . . . . . . . . . . . . . 14
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
96 finnum 8350 . . . . . . . . . . . . . 14
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
98 cardacda 8599 . . . . . . . . . . . . 13
9995, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
100 ficardom 8363 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10193, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 ficardom 8363 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 cardid2 8355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10593, 94, 1043syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107 cardid2 8355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 ensym 7584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10996, 107, 1083syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 sdomentr 7671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113111, 112sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114105, 106, 110, 113syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115 cardon 8346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116 cardon 8346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 onenon 8351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119 cardsdomel 8376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120115, 118, 119mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 cardidm 8361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123120, 122bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124114, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 nnaordr 7288 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
127101, 103, 103, 124, 126syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . 14
128 nnacl 7279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129102, 102, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 cardnn 8365 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
133127, 132eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13
134 cardsdomelir 8375 . . . . . . . . . . . . 13
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12
136 ensdomtr 7673 . . . . . . . . . . . 12
13799, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
138 cardacda 8599 . . . . . . . . . . . . . 14
13996, 96, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
140139ensymd 7586 . . . . . . . . . . . 12
141140adantl 466 . . . . . . . . . . 11
142 sdomentr 7671 . . . . . . . . . . 11
143137, 141, 142syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
144 domsdomtr 7672 . . . . . . . . . 10
14589, 143, 144sylancr 663 . . . . . . . . 9
146145expcom 435 . . . . . . . 8
14782, 146syl 16 . . . . . . 7
148 sdomentr 7671 . . . . . . . 8
149148expcom 435 . . . . . . 7
15072, 147, 149sylsyld 56 . . . . . 6
15138, 150syld 44 . . . . 5
152151ex 434 . . . 4
153152com23 78 . . 3
1546, 12, 18, 32, 153finds1 6729 . 2
155154imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Ordword 4882   con0 4883  succsuc 4885  domcdm 5004  `cfv 5593  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   coa 7146   cen 7533   cdom 7534   csdm 7535   cfn 7536   ccrd 8337   ccda 8568
This theorem is referenced by:  domtriomlem  8843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569
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