Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Unicode version

Theorem pwsmgp 16886
 Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y
pwsmgp.m
pwsmgp.z
pwsmgp.n
pwsmgp.b
pwsmgp.c
pwsmgp.p
pwsmgp.q
Assertion
Ref Expression
pwsmgp

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . 6
2 eqid 2454 . . . . . 6
3 eqid 2454 . . . . . 6
4 simpr 461 . . . . . 6
5 fvex 5823 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 fnconstg 5720 . . . . . . 7
87adantr 465 . . . . . 6
91, 2, 3, 4, 6, 8prdsmgp 16878 . . . . 5
109simpld 459 . . . 4
11 pwsmgp.n . . . . . 6
12 pwsmgp.y . . . . . . . 8
13 eqid 2454 . . . . . . . 8
1412, 13pwsval 14583 . . . . . . 7
1514fveq2d 5817 . . . . . 6
1611, 15syl5eq 2507 . . . . 5
1716fveq2d 5817 . . . 4
18 pwsmgp.z . . . . . 6
19 pwsmgp.m . . . . . . . . 9
20 fvex 5823 . . . . . . . . 9
2119, 20eqeltri 2538 . . . . . . . 8
22 eqid 2454 . . . . . . . . 9
23 eqid 2454 . . . . . . . . 9
2422, 23pwsval 14583 . . . . . . . 8
2521, 4, 24sylancr 663 . . . . . . 7
2619, 13mgpsca 16773 . . . . . . . . . 10
2726eqcomi 2467 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
29 fnmgp 16768 . . . . . . . . . 10
30 elex 3090 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10
32 fcoconst 6003 . . . . . . . . . 10
3329, 31, 32sylancr 663 . . . . . . . . 9
3419sneqi 4004 . . . . . . . . . 10
3534xpeq2i 4978 . . . . . . . . 9
3633, 35syl6reqr 2514 . . . . . . . 8
3728, 36oveq12d 6240 . . . . . . 7
3825, 37eqtrd 2495 . . . . . 6
3918, 38syl5eq 2507 . . . . 5
4039fveq2d 5817 . . . 4
4110, 17, 403eqtr4d 2505 . . 3
42 pwsmgp.b . . 3
43 pwsmgp.c . . 3
4441, 42, 433eqtr4g 2520 . 2
459simprd 463 . . . 4
4616fveq2d 5817 . . . 4
4739fveq2d 5817 . . . 4
4845, 46, 473eqtr4d 2505 . . 3
49 pwsmgp.p . . 3
50 pwsmgp.q . . 3
5148, 49, 503eqtr4g 2520 . 2
5244, 51jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  {csn 3993  X.cxp 4955  o.ccom 4961  Fnwfn 5532  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   csca 14400   cprds 14543   cpws 14544   cmgp 16766 This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  17002  pwsco2rhm  17003  pwsdiagrhm  17074  evl1expd  17972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-ixp 7398  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-sup 7827  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-sca 14413  df-vsca 14414  df-ip 14415  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-hom 14421  df-cco 14422  df-prds 14545  df-pws 14547  df-mgp 16767
 Copyright terms: Public domain W3C validator