MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Unicode version

Theorem pwsmgp 16534
Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y
pwsmgp.m
pwsmgp.z
pwsmgp.n
pwsmgp.b
pwsmgp.c
pwsmgp.p
pwsmgp.q
Assertion
Ref Expression
pwsmgp

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . . 6
2 eqid 2422 . . . . . 6
3 eqid 2422 . . . . . 6
4 simpr 451 . . . . . 6
5 fvex 5671 . . . . . . 7
65a1i 11 . . . . . 6
7 fnconstg 5568 . . . . . . 7
87adantr 455 . . . . . 6
91, 2, 3, 4, 6, 8prdsmgp 16526 . . . . 5
109simpld 449 . . . 4
11 pwsmgp.n . . . . . 6
12 pwsmgp.y . . . . . . . 8
13 eqid 2422 . . . . . . . 8
1412, 13pwsval 14364 . . . . . . 7
1514fveq2d 5665 . . . . . 6
1611, 15syl5eq 2466 . . . . 5
1716fveq2d 5665 . . . 4
18 pwsmgp.z . . . . . 6
19 pwsmgp.m . . . . . . . . 9
20 fvex 5671 . . . . . . . . 9
2119, 20eqeltri 2492 . . . . . . . 8
22 eqid 2422 . . . . . . . . 9
23 eqid 2422 . . . . . . . . 9
2422, 23pwsval 14364 . . . . . . . 8
2521, 4, 24sylancr 648 . . . . . . 7
2619, 13mgpsca 16464 . . . . . . . . . 10
2726eqcomi 2426 . . . . . . . . 9
2827a1i 11 . . . . . . . 8
29 fnmgp 16459 . . . . . . . . . 10
30 elex 2960 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 455 . . . . . . . . . 10
32 fcoconst 5849 . . . . . . . . . 10
3329, 31, 32sylancr 648 . . . . . . . . 9
3419sneqi 3865 . . . . . . . . . 10
3534xpeq2i 4832 . . . . . . . . 9
3633, 35syl6reqr 2473 . . . . . . . 8
3728, 36oveq12d 6079 . . . . . . 7
3825, 37eqtrd 2454 . . . . . 6
3918, 38syl5eq 2466 . . . . 5
4039fveq2d 5665 . . . 4
4110, 17, 403eqtr4d 2464 . . 3
42 pwsmgp.b . . 3
43 pwsmgp.c . . 3
4441, 42, 433eqtr4g 2479 . 2
459simprd 453 . . . 4
4616fveq2d 5665 . . . 4
4739fveq2d 5665 . . . 4
4845, 46, 473eqtr4d 2464 . . 3
49 pwsmgp.p . . 3
50 pwsmgp.q . . 3
5148, 49, 503eqtr4g 2479 . 2
5244, 51jca 522 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  {csn 3853  X.cxp 4809  o.ccom 4815  Fnwfn 5385  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   csca 14181   cprds 14324   cpws 14325   cmgp 16457
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  16643  pwsco2rhm  16644  pwsdiagrhm  16711  evl1expd  21246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-hom 14202  df-cco 14203  df-prds 14326  df-pws 14328  df-mgp 16458
  Copyright terms: Public domain W3C validator