MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Unicode version

Theorem pwssplit2 17231
Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y
pwssplit1.z
pwssplit1.b
pwssplit1.c
pwssplit1.f
Assertion
Ref Expression
pwssplit2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2
2 pwssplit1.c . 2
3 eqid 2450 . 2
4 eqid 2450 . 2
5 simp1 988 . . 3
6 simp2 989 . . 3
7 pwssplit1.y . . . 4
87pwsgrp 15752 . . 3
95, 6, 8syl2anc 661 . 2
10 simp3 990 . . . 4
116, 10ssexd 4521 . . 3
12 pwssplit1.z . . . 4
1312pwsgrp 15752 . . 3
145, 11, 13syl2anc 661 . 2
15 pwssplit1.f . . 3
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 17229 . 2
17 offres 6656 . . . . 5
1817adantl 466 . . . 4
195adantr 465 . . . . . 6
20 simpl2 992 . . . . . 6
21 simprl 755 . . . . . 6
22 simprr 756 . . . . . 6
23 eqid 2450 . . . . . 6
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 14514 . . . . 5
2524reseq1d 5191 . . . 4
2615fvtresfn 5858 . . . . . 6
2715fvtresfn 5858 . . . . . 6
2826, 27oveqan12d 6193 . . . . 5
2928adantl 466 . . . 4
3018, 25, 293eqtr4d 2500 . . 3
311, 3grpcl 15637 . . . . . 6
32313expb 1189 . . . . 5
339, 32sylan 471 . . . 4
3415fvtresfn 5858 . . . 4
3533, 34syl 16 . . 3
3611adantr 465 . . . 4
3716ffvelrnda 5926 . . . . 5
3837adantrr 716 . . . 4
3916ffvelrnda 5926 . . . . 5
4039adantrl 715 . . . 4
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 14514 . . 3
4230, 35, 413eqtr4d 2500 . 2
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 15842 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757   cvv 3052  C_wss 3410  e.cmpt 4432  |`cres 4924  `cfv 5500  (class class class)co 6174  oFcof 6402   cbs 14260   cplusg 14324   cpws 14471   cgrp 15496   cghm 15830
This theorem is referenced by:  pwssplit3  17232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4485  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456  ax-cnex 9423  ax-resscn 9424  ax-1cn 9425  ax-icn 9426  ax-addcl 9427  ax-addrcl 9428  ax-mulcl 9429  ax-mulrcl 9430  ax-mulcom 9431  ax-addass 9432  ax-mulass 9433  ax-distr 9434  ax-i2m1 9435  ax-1ne0 9436  ax-1rid 9437  ax-rnegex 9438  ax-rrecex 9439  ax-cnre 9440  ax-pre-lttri 9441  ax-pre-lttrn 9442  ax-pre-ltadd 9443  ax-pre-mulgt0 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pss 3426  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4174  df-int 4211  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4468  df-eprel 4714  df-id 4718  df-po 4723  df-so 4724  df-fr 4761  df-we 4763  df-ord 4804  df-on 4805  df-lim 4806  df-suc 4807  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-riota 6135  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-of 6404  df-om 6561  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-recs 6916  df-rdg 6950  df-1o 7004  df-oadd 7008  df-er 7185  df-map 7300  df-ixp 7348  df-en 7395  df-dom 7396  df-sdom 7397  df-fin 7398  df-sup 7776  df-pnf 9505  df-mnf 9506  df-xr 9507  df-ltxr 9508  df-le 9509  df-sub 9682  df-neg 9683  df-nn 10408  df-2 10465  df-3 10466  df-4 10467  df-5 10468  df-6 10469  df-7 10470  df-8 10471  df-9 10472  df-10 10473  df-n0 10665  df-z 10732  df-dec 10841  df-uz 10947  df-fz 11523  df-struct 14262  df-ndx 14263  df-slot 14264  df-base 14265  df-plusg 14337  df-mulr 14338  df-sca 14340  df-vsca 14341  df-ip 14342  df-tset 14343  df-ple 14344  df-ds 14346  df-hom 14348  df-cco 14349  df-0g 14466  df-prds 14472  df-pws 14474  df-mnd 15501  df-grp 15631  df-minusg 15632  df-ghm 15831
  Copyright terms: Public domain W3C validator