MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Unicode version

Theorem pwssplit2 16950
Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y
pwssplit1.z
pwssplit1.b
pwssplit1.c
pwssplit1.f
Assertion
Ref Expression
pwssplit2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2
2 pwssplit1.c . 2
3 eqid 2422 . 2
4 eqid 2422 . 2
5 simp1 973 . . 3
6 simp2 974 . . 3
7 pwssplit1.y . . . 4
87pwsgrp 15603 . . 3
95, 6, 8syl2anc 646 . 2
10 simp3 975 . . . 4
116, 10ssexd 4414 . . 3
12 pwssplit1.z . . . 4
1312pwsgrp 15603 . . 3
145, 11, 13syl2anc 646 . 2
15 pwssplit1.f . . 3
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 16948 . 2
17 offres 6541 . . . . 5
1817adantl 456 . . . 4
195adantr 455 . . . . . 6
20 simpl2 977 . . . . . 6
21 simprl 740 . . . . . 6
22 simprr 741 . . . . . 6
23 eqid 2422 . . . . . 6
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 14368 . . . . 5
2524reseq1d 5080 . . . 4
2615fvtresfn 5745 . . . . . 6
2715fvtresfn 5745 . . . . . 6
2826, 27oveqan12d 6080 . . . . 5
2928adantl 456 . . . 4
3018, 25, 293eqtr4d 2464 . . 3
311, 3grpcl 15488 . . . . . 6
32313expb 1173 . . . . 5
339, 32sylan 461 . . . 4
3415fvtresfn 5745 . . . 4
3533, 34syl 16 . . 3
3611adantr 455 . . . 4
3716ffvelrnda 5813 . . . . 5
3837adantrr 701 . . . 4
3916ffvelrnda 5813 . . . . 5
4039adantrl 700 . . . 4
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 14368 . . 3
4230, 35, 413eqtr4d 2464 . 2
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 15693 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749   cvv 2951  C_wss 3305  e.cmpt 4325  |`cres 4813  `cfv 5390  (class class class)co 6061  oFcof 6288   cbs 14114   cplusg 14178   cpws 14325   cgrp 15350   cghm 15681
This theorem is referenced by:  pwssplit3  16951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-of 6290  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-ixp 7223  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-sup 7638  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-sca 14194  df-vsca 14195  df-ip 14196  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-hom 14202  df-cco 14203  df-0g 14320  df-prds 14326  df-pws 14328  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-ghm 15682
  Copyright terms: Public domain W3C validator