MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssun Unicode version

Theorem pwssun 4709
Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 23-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
pwssun

Proof of Theorem pwssun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssequn2 3611 . . . . . 6
2 pweq 3945 . . . . . . 7
3 eqimss 3490 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
51, 4sylbi 195 . . . . 5
6 ssequn1 3608 . . . . . 6
7 pweq 3945 . . . . . . 7
8 eqimss 3490 . . . . . . 7
97, 8syl 16 . . . . . 6
106, 9sylbi 195 . . . . 5
115, 10orim12i 516 . . . 4
1211orcoms 389 . . 3
13 ssun 3617 . . 3
1412, 13syl 16 . 2
15 vex 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1615snss 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17 vex 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1817snss 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19 unss12 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2016, 18, 19syl2anb 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 zfpair2 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2221elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23 df-pr 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423sseq1i 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2522, 24bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2620, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
27 ssel 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2826, 27syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029imp31 432 . . . . . . . . . . . . . 14
31 elun 3579 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
3321elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3415, 17prss 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14
3721elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3815, 17prss 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3937, 38bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14
4136, 40orim12i 516 . . . . . . . . . . . . 13
4232, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12
4342ord 377 . . . . . . . . . . 11
4443impancom 440 . . . . . . . . . 10
4544ssrdv 3444 . . . . . . . . 9
4645exp31 604 . . . . . . . 8
47 con1b 333 . . . . . . . 8
4846, 47syl6ib 226 . . . . . . 7
4948com23 78 . . . . . 6
5049imp 429 . . . . 5
5150ssrdv 3444 . . . 4
5251ex 434 . . 3
5352orrd 378 . 2
5414, 53impbii 188 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  u.cun 3408  C_wss 3410  ~Pcpw 3942  {csn 3959  {cpr 3961
This theorem is referenced by:  pwun  4711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-pr 4613
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-v 3054  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962
  Copyright terms: Public domain W3C validator