Theorem pwssun 4791

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 23-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
pwssun

Proof of Theorem pwssun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssequn2 3676	. . . . . 6
2		pweq 4015	. . . . . . 7
3		eqimss 3555	. . . . . . 7
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6
5	1, 4	sylbi 195	. . . . 5
6		ssequn1 3673	. . . . . 6
7		pweq 4015	. . . . . . 7
8		eqimss 3555	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6
10	6, 9	sylbi 195	. . . . 5
11	5, 10	orim12i 516	. . . 4
12	11	orcoms 389	. . 3
13		ssun 3682	. . 3
14	12, 13	syl 16	. 2
15		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16	15	snss 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18	17	snss 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19		unss12 3675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	16, 18, 19	syl2anb 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21		zfpair2 4692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22	21	elpw 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23		df-pr 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24	23	sseq1i 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	22, 24	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	20, 25	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27		ssel 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	26, 27	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	expcomd 438	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . 14
31		elun 3644	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
33	21	elpw 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	15, 17	prss 4184	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	33, 34	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
37	21	elpw 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	15, 17	prss 4184	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39	37, 38	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14
41	36, 40	orim12i 516	. . . . . . . . . . . . 13
42	32, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ord 377	. . . . . . . . . . 11
44	43	impancom 440	. . . . . . . . . 10
45	44	ssrdv 3509	. . . . . . . . 9
46	45	exp31 604	. . . . . . . 8
47		con1b 333	. . . . . . . 8
48	46, 47	syl6ib 226	. . . . . . 7
49	48	com23 78	. . . . . 6
50	49	imp 429	. . . . 5
51	50	ssrdv 3509	. . . 4
52	51	ex 434	. . 3
53	52	orrd 378	. 2
54	14, 53	impbii 188	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {csn 4029  {cpr 4031

This theorem is referenced by:  pwun  4793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-v 3111  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032