Theorem pwssun 4709

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 23-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
pwssun

Proof of Theorem pwssun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssequn2 3611	. . . . . 6
2		pweq 3945	. . . . . . 7
3		eqimss 3490	. . . . . . 7
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6
5	1, 4	sylbi 195	. . . . 5
6		ssequn1 3608	. . . . . 6
7		pweq 3945	. . . . . . 7
8		eqimss 3490	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 16	. . . . . 6
10	6, 9	sylbi 195	. . . . 5
11	5, 10	orim12i 516	. . . 4
12	11	orcoms 389	. . 3
13		ssun 3617	. . 3
14	12, 13	syl 16	. 2
15		vex 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16	15	snss 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17		vex 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18	17	snss 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19		unss12 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	16, 18, 19	syl2anb 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21		zfpair2 4614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22	21	elpw 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23		df-pr 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24	23	sseq1i 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	22, 24	bitr2i 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	20, 25	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
27		ssel 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	26, 27	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	28	expcomd 438	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	29	imp31 432	. . . . . . . . . . . . . 14
31		elun 3579	. . . . . . . . . . . . . 14
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
33	21	elpw 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	15, 17	prss 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	33, 34	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14
37	21	elpw 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	15, 17	prss 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39	37, 38	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14
41	36, 40	orim12i 516	. . . . . . . . . . . . 13
42	32, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
43	42	ord 377	. . . . . . . . . . 11
44	43	impancom 440	. . . . . . . . . 10
45	44	ssrdv 3444	. . . . . . . . 9
46	45	exp31 604	. . . . . . . 8
47		con1b 333	. . . . . . . 8
48	46, 47	syl6ib 226	. . . . . . 7
49	48	com23 78	. . . . . 6
50	49	imp 429	. . . . 5
51	50	ssrdv 3444	. . . 4
52	51	ex 434	. . 3
53	52	orrd 378	. 2
54	14, 53	impbii 188	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1757  u.cun 3408  C_wss 3410  ~Pcpw 3942  {csn 3959  {cpr 3961

This theorem is referenced by:  pwun  4711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-pr 4613

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-v 3054  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962