MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom2 Unicode version

Theorem pwxpndom2 9064
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 9063 . 2
2 reldom 7542 . . . . . . 7
32brrelex2i 5046 . . . . . 6
4 oveq1 6303 . . . . . . . 8
5 id 22 . . . . . . . 8
64, 5breq12d 4465 . . . . . . 7
7 df1o2 7161 . . . . . . . . 9
87oveq2i 6307 . . . . . . . 8
9 vex 3112 . . . . . . . . 9
10 0ex 4582 . . . . . . . . 9
119, 10mapsnen 7613 . . . . . . . 8
128, 11eqbrtri 4471 . . . . . . 7
136, 12vtoclg 3167 . . . . . 6
14 ensym 7584 . . . . . 6
153, 13, 143syl 20 . . . . 5
16 map2xp 7707 . . . . . 6
17 ensym 7584 . . . . . 6
183, 16, 173syl 20 . . . . 5
19 elmapi 7460 . . . . . . . . . . 11
20 fdm 5740 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221adantr 465 . . . . . . . . 9
23 1onn 7307 . . . . . . . . . . . . . 14
2423elexi 3119 . . . . . . . . . . . . 13
2524sucid 4962 . . . . . . . . . . . 12
26 df-2o 7150 . . . . . . . . . . . 12
2725, 26eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . 11
28 1on 7156 . . . . . . . . . . . 12
2928onirri 4989 . . . . . . . . . . 11
30 nelneq2 2575 . . . . . . . . . . 11
3127, 29, 30mp2an 672 . . . . . . . . . 10
32 elmapi 7460 . . . . . . . . . . . . 13
33 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . 13
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3534adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3635eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
3731, 36mtbiri 303 . . . . . . . . 9
3822, 37pm2.65i 173 . . . . . . . 8
39 elin 3686 . . . . . . . 8
4038, 39mtbir 299 . . . . . . 7
4140a1i 11 . . . . . 6
4241eq0rdv 3820 . . . . 5
43 cdaenun 8575 . . . . 5
4415, 18, 42, 43syl3anc 1228 . . . 4
45 omex 8081 . . . . . 6
46 ovex 6324 . . . . . 6
4745, 46iunex 6780 . . . . 5
48 oveq2 6304 . . . . . . . 8
4948ssiun2s 4374 . . . . . . 7
5023, 49ax-mp 5 . . . . . 6
51 2onn 7308 . . . . . . 7
52 oveq2 6304 . . . . . . . 8
5352ssiun2s 4374 . . . . . . 7
5451, 53ax-mp 5 . . . . . 6
5550, 54unssi 3678 . . . . 5
56 ssdomg 7581 . . . . 5
5747, 55, 56mp2 9 . . . 4
58 endomtr 7593 . . . 4
5944, 57, 58sylancl 662 . . 3
60 domtr 7588 . . . 4
6160expcom 435 . . 3
6259, 61syl 16 . 2
631, 62mtod 177 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  -->wf 5589  (class class class)co 6296   com 6700   c1o 7142   c2o 7143   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534   ccda 8568
This theorem is referenced by:  pwxpndom  9065  pwcdandom  9066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-oexp 7155  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fsupp 7850  df-oi 7956  df-har 8005  df-cnf 8100  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator