Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtrip Unicode version

Theorem pythagtrip 14358
 Description: Parameterize the Pythagorean triples. If , , and are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. This is Metamath 100 proof #23. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 14260 . . . . . . 7
213adant3 1016 . . . . . 6
32adantr 465 . . . . 5
4 pythagtriplem19 14357 . . . . . . 7
543expia 1198 . . . . . 6
6 simp12 1027 . . . . . . . 8
7 simp11 1026 . . . . . . . 8
8 simp13 1028 . . . . . . . 8
9 nnsqcl 12237 . . . . . . . . . . . . . 14
109nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . 13
11103ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12
12 nnsqcl 12237 . . . . . . . . . . . . . 14
1312nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . 13
14133ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12
1511, 14addcomd 9803 . . . . . . . . . . 11
1615eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
1716biimpa 484 . . . . . . . . 9
18173adant3 1016 . . . . . . . 8
19 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . . 15
20193ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
22 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . . 15
23223ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
25 gcdcom 14158 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
2726oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
2827breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
2928notbid 294 . . . . . . . . 9
3029biimp3a 1328 . . . . . . . 8
31 pythagtriplem19 14357 . . . . . . . 8
326, 7, 8, 18, 30, 31syl311anc 1242 . . . . . . 7
33323expia 1198 . . . . . 6
345, 33orim12d 838 . . . . 5
353, 34mpd 15 . . . 4
36 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
37 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
38 preq12bg 4209 . . . . . . . . . . 11
3936, 37, 38mpanr12 685 . . . . . . . . . 10
4039anbi1d 704 . . . . . . . . 9
4140rexbidv 2968 . . . . . . . 8
42412rexbidv 2975 . . . . . . 7
43 andir 868 . . . . . . . . . . 11
44 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12
45 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45orbi12i 521 . . . . . . . . . . 11
47 3ancoma 980 . . . . . . . . . . . 12
4847orbi2i 519 . . . . . . . . . . 11
4943, 46, 483bitr2i 273 . . . . . . . . . 10
5049rexbii 2959 . . . . . . . . 9
51502rexbii 2960 . . . . . . . 8
52 r19.43 3013 . . . . . . . . . 10
53522rexbii 2960 . . . . . . . . 9
54 r19.43 3013 . . . . . . . . . . 11
5554rexbii 2959 . . . . . . . . . 10
56 r19.43 3013 . . . . . . . . . 10
5755, 56bitri 249 . . . . . . . . 9
5853, 57bitri 249 . . . . . . . 8
5951, 58bitri 249 . . . . . . 7
6042, 59syl6bb 261 . . . . . 6
61603adant3 1016 . . . . 5
6261adantr 465 . . . 4
6335, 62mpbird 232 . . 3
6463ex 434 . 2
65 pythagtriplem2 14341 . . 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  {cpr 4031   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218