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Theorem pythagtriplem1 14340
Description: Lemma for pythagtrip 14358. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 10569 . . . . . 6
2 nncn 10569 . . . . . 6
3 nncn 10569 . . . . . 6
4 sqcl 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
65sqcld 12308 . . . . . . . . . . . . 13
7 2cn 10631 . . . . . . . . . . . . . 14
8 sqcl 12230 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15
104, 8, 9syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14
11 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
127, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
136, 12subcld 9954 . . . . . . . . . . . 12
148adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1514sqcld 12308 . . . . . . . . . . . 12
16 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14
18 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
197, 17, 18sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
2019sqcld 12308 . . . . . . . . . . . 12
2113, 15, 20add32d 9825 . . . . . . . . . . 11
226, 12, 20subadd23d 9976 . . . . . . . . . . . . 13
23 sqmul 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
247, 17, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 sq2 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 sqmul 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2926, 28oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3024, 29eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3130oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 4cn 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 2p2e4 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3432, 7, 7, 33subaddrii 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 subdir 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3732, 7, 36mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3810, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3935, 38syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
4031, 39eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14
4140oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13
4222, 41eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
4342oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
4421, 43eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
45 binom2sub 12285 . . . . . . . . . . . 12
464, 8, 45syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
4746oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
48 binom2 12283 . . . . . . . . . . 11
494, 8, 48syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
5044, 47, 493eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
51503adant3 1016 . . . . . . . 8
5251oveq2d 6312 . . . . . . 7
53 simp3 998 . . . . . . . . . 10
5443ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
5583ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
5654, 55subcld 9954 . . . . . . . . . 10
5753, 56sqmuld 12322 . . . . . . . . 9
58173adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
597, 58, 18sylancr 663 . . . . . . . . . 10
6053, 59sqmuld 12322 . . . . . . . . 9
6157, 60oveq12d 6314 . . . . . . . 8
62 sqcl 12230 . . . . . . . . . 10
63623ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
6456sqcld 12308 . . . . . . . . 9
6559sqcld 12308 . . . . . . . . 9
6663, 64, 65adddid 9641 . . . . . . . 8
6761, 66eqtr4d 2501 . . . . . . 7
6854, 55addcld 9636 . . . . . . . 8
6953, 68sqmuld 12322 . . . . . . 7
7052, 67, 693eqtr4d 2508 . . . . . 6
711, 2, 3, 70syl3an 1270 . . . . 5
72 oveq1 6303 . . . . . . . 8
73 oveq1 6303 . . . . . . . 8
7472, 73oveqan12d 6315 . . . . . . 7
75743adant3 1016 . . . . . 6
76 oveq1 6303 . . . . . . 7
77763ad2ant3 1019 . . . . . 6
7875, 77eqeq12d 2479 . . . . 5
7971, 78syl5ibrcom 222 . . . 4
80793expa 1196 . . 3
8180rexlimdva 2949 . 2
8281rexlimivv 2954 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cn 10561  2c2 10610  4c4 10612   cexp 12166
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  14341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
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