MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem13 Unicode version

Theorem pythagtriplem13 14351
Description: Lemma for pythagtrip 14358. Show that (which will eventually be closely related to the in the final statement) is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem13

Proof of Theorem pythagtriplem13
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . 2
2 pythagtriplem9 14348 . . . . . 6
32nnzd 10993 . . . . 5
4 simp3r 1025 . . . . . . 7
5 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13
6 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6nnaddcld 10607 . . . . . . . . . . . 12
87nnzd 10993 . . . . . . . . . . 11
983ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
10 nnz 10911 . . . . . . . . . . . 12
11103ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
12113ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
13 2z 10921 . . . . . . . . . . 11
14 dvdsgcdb 14182 . . . . . . . . . . 11
1513, 14mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10
169, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9
1716biimpar 485 . . . . . . . 8
1817simprd 463 . . . . . . 7
194, 18mtand 659 . . . . . 6
20 pythagtriplem7 14346 . . . . . . 7
2120breq2d 4464 . . . . . 6
2219, 21mtbird 301 . . . . 5
23 pythagtriplem8 14347 . . . . . 6
2423nnzd 10993 . . . . 5
25 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . 13
26253ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12
27 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . 13
28273ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12
2926, 28zsubcld 10999 . . . . . . . . . . 11
30293ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
31 dvdsgcdb 14182 . . . . . . . . . . 11
3213, 31mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10
3330, 12, 32syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3433biimpar 485 . . . . . . . 8
3534simprd 463 . . . . . . 7
364, 35mtand 659 . . . . . 6
37 pythagtriplem6 14345 . . . . . . 7
3837breq2d 4464 . . . . . 6
3936, 38mtbird 301 . . . . 5
40 omoe 14336 . . . . 5
413, 22, 24, 39, 40syl22anc 1229 . . . 4
4229zred 10994 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
44 simp13 1028 . . . . . . . . . 10
4544nnred 10576 . . . . . . . . 9
467nnred 10576 . . . . . . . . . 10
47463ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
48 nnrp 11258 . . . . . . . . . . . 12
49483ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
50493ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
5145, 50ltsubrpd 11313 . . . . . . . . 9
52 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . 12
53523ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
54533ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
55 simp12 1027 . . . . . . . . . . . 12
5655nnred 10576 . . . . . . . . . . 11
5756, 45ltaddposd 10161 . . . . . . . . . 10
5854, 57mpbid 210 . . . . . . . . 9
5943, 45, 47, 51, 58lttrd 9764 . . . . . . . 8
60 pythagtriplem10 14344 . . . . . . . . . . 11
61603adant3 1016 . . . . . . . . . 10
62 0re 9617 . . . . . . . . . . 11
63 ltle 9694 . . . . . . . . . . 11
6462, 63mpan 670 . . . . . . . . . 10
6543, 61, 64sylc 60 . . . . . . . . 9
66 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . 13
67663ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12
68673ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
6945, 56, 68, 54addgt0d 10152 . . . . . . . . . 10
70 ltle 9694 . . . . . . . . . . 11
7162, 70mpan 670 . . . . . . . . . 10
7247, 69, 71sylc 60 . . . . . . . . 9
7343, 65, 47, 72sqrtltd 13259 . . . . . . . 8
7459, 73mpbid 210 . . . . . . 7
75 nnsub 10599 . . . . . . . 8
7623, 2, 75syl2anc 661 . . . . . . 7
7774, 76mpbid 210 . . . . . 6
7877nnzd 10993 . . . . 5
79 2ne0 10653 . . . . . 6
80 dvdsval2 13989 . . . . . 6
8113, 79, 80mp3an12 1314 . . . . 5
8278, 81syl 16 . . . 4
8341, 82mpbid 210 . . 3
8477nngt0d 10604 . . . 4
8577nnred 10576 . . . . 5
86 halfpos2 10793 . . . . 5
8785, 86syl 16 . . . 4
8884, 87mpbid 210 . . 3
89 elnnz 10899 . . 3
9083, 88, 89sylanbrc 664 . 2
911, 90syl5eqel 2549 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   crp 11249   cexp 12166   csqrt 13066   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  14356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
  Copyright terms: Public domain W3C validator