Theorem pythagtriplem13 14351

Description: Lemma for pythagtrip 14358. Show that (which will eventually be closely related to the in the final statement) is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
pythagtriplem13.1

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem13

Proof of Theorem pythagtriplem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem13.1	. 2
2		pythagtriplem9 14348	. . . . . 6
3	2	nnzd 10993	. . . . 5
4		simp3r 1025	. . . . . . 7
5		simp3 998	. . . . . . . . . . . . 13
6		simp2 997	. . . . . . . . . . . . 13
7	5, 6	nnaddcld 10607	. . . . . . . . . . . 12
8	7	nnzd 10993	. . . . . . . . . . 11
9	8	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
10		nnz 10911	. . . . . . . . . . . 12
11	10	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
12	11	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
13		2z 10921	. . . . . . . . . . 11
14		dvdsgcdb 14182	. . . . . . . . . . 11
15	13, 14	mp3an1 1311	. . . . . . . . . 10
16	9, 12, 15	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
17	16	biimpar 485	. . . . . . . 8
18	17	simprd 463	. . . . . . 7
19	4, 18	mtand 659	. . . . . 6
20		pythagtriplem7 14346	. . . . . . 7
21	20	breq2d 4464	. . . . . 6
22	19, 21	mtbird 301	. . . . 5
23		pythagtriplem8 14347	. . . . . 6
24	23	nnzd 10993	. . . . 5
25		nnz 10911	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . 12
27		nnz 10911	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . 12
29	26, 28	zsubcld 10999	. . . . . . . . . . 11
30	29	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
31		dvdsgcdb 14182	. . . . . . . . . . 11
32	13, 31	mp3an1 1311	. . . . . . . . . 10
33	30, 12, 32	syl2anc 661	. . . . . . . . 9
34	33	biimpar 485	. . . . . . . 8
35	34	simprd 463	. . . . . . 7
36	4, 35	mtand 659	. . . . . 6
37		pythagtriplem6 14345	. . . . . . 7
38	37	breq2d 4464	. . . . . 6
39	36, 38	mtbird 301	. . . . 5
40		omoe 14336	. . . . 5
41	3, 22, 24, 39, 40	syl22anc 1229	. . . 4
42	29	zred 10994	. . . . . . . . . 10
43	42	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
44		simp13 1028	. . . . . . . . . 10
45	44	nnred 10576	. . . . . . . . 9
46	7	nnred 10576	. . . . . . . . . 10
47	46	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9
48		nnrp 11258	. . . . . . . . . . . 12
49	48	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
50	49	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
51	45, 50	ltsubrpd 11313	. . . . . . . . 9
52		nngt0 10590	. . . . . . . . . . . 12
53	52	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
54	53	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10
55		simp12 1027	. . . . . . . . . . . 12
56	55	nnred 10576	. . . . . . . . . . 11
57	56, 45	ltaddposd 10161	. . . . . . . . . 10
58	54, 57	mpbid 210	. . . . . . . . 9
59	43, 45, 47, 51, 58	lttrd 9764	. . . . . . . 8
60		pythagtriplem10 14344	. . . . . . . . . . 11
61	60	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10
62		0re 9617	. . . . . . . . . . 11
63		ltle 9694	. . . . . . . . . . 11
64	62, 63	mpan 670	. . . . . . . . . 10
65	43, 61, 64	sylc 60	. . . . . . . . 9
66		nngt0 10590	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . 12
68	67	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11
69	45, 56, 68, 54	addgt0d 10152	. . . . . . . . . 10
70		ltle 9694	. . . . . . . . . . 11
71	62, 70	mpan 670	. . . . . . . . . 10
72	47, 69, 71	sylc 60	. . . . . . . . 9
73	43, 65, 47, 72	sqrtltd 13259	. . . . . . . 8
74	59, 73	mpbid 210	. . . . . . 7
75		nnsub 10599	. . . . . . . 8
76	23, 2, 75	syl2anc 661	. . . . . . 7
77	74, 76	mpbid 210	. . . . . 6
78	77	nnzd 10993	. . . . 5
79		2ne0 10653	. . . . . 6
80		dvdsval2 13989	. . . . . 6
81	13, 79, 80	mp3an12 1314	. . . . 5
82	78, 81	syl 16	. . . 4
83	41, 82	mpbid 210	. . 3
84	77	nngt0d 10604	. . . 4
85	77	nnred 10576	. . . . 5
86		halfpos2 10793	. . . . 5
87	85, 86	syl 16	. . . 4
88	84, 87	mpbid 210	. . 3
89		elnnz 10899	. . 3
90	83, 88, 89	sylanbrc 664	. 2
91	1, 90	syl5eqel 2549	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cle 9650  cmin 9828  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cz 10889  crp 11249  cexp 12166  csqrt 13066  cdvds 13986  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  14356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218