MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem14 Unicode version

Theorem pythagtriplem14 14352
Description: Lemma for pythagtrip 14358. Calculate the square of . (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem14

Proof of Theorem pythagtriplem14
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . . 3
21oveq1i 6306 . 2
3 nncn 10569 . . . . . . . . 9
4 nncn 10569 . . . . . . . . 9
5 addcl 9595 . . . . . . . . 9
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . . . 8
76sqrtcld 13268 . . . . . . 7
8 subcl 9842 . . . . . . . . 9
93, 4, 8syl2anr 478 . . . . . . . 8
109sqrtcld 13268 . . . . . . 7
117, 10subcld 9954 . . . . . 6
12113adant1 1014 . . . . 5
13123ad2ant1 1017 . . . 4
14 2cn 10631 . . . . 5
15 2ne0 10653 . . . . 5
16 sqdiv 12233 . . . . 5
1714, 15, 16mp3an23 1316 . . . 4
1813, 17syl 16 . . 3
1914sqvali 12247 . . . . 5
2019oveq2i 6307 . . . 4
2113sqcld 12308 . . . . . 6
22 2cnne0 10775 . . . . . . 7
23 divdiv1 10280 . . . . . . 7
2422, 22, 23mp3an23 1316 . . . . . 6
2521, 24syl 16 . . . . 5
26 simp12 1027 . . . . . . . . . . 11
27 simp13 1028 . . . . . . . . . . 11
2826, 27, 7syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
30 binom2sub 12285 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9
32 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15
3532, 33, 34syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14
36353adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
37363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12
3837recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
39 resubcl 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15
4032, 33, 39syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14
41403adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
42413ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12
4342recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
4473adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14
45103adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45mulcld 9637 . . . . . . . . . . . . 13
47 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . 13
4814, 46, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
49483ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
5038, 43, 49addsubd 9975 . . . . . . . . . 10
5127nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
52 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . 13
5352nncnd 10577 . . . . . . . . . . . 12
54 subdi 10015 . . . . . . . . . . . . 13
5514, 54mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12
5651, 53, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
57 ppncan 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58573anidm13 1286 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 2times 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6158, 60eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15
623, 4, 61syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14
63623adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12
6526nncnd 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66 subsq 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6751, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69683ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7170sqcld 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
72713ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
734sqcld 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74733ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7572, 74pncand 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76753ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7769, 76eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7867, 77eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7978fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15
8032adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8133adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
82 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8680, 81, 83, 85addgt0d 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
88 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8987, 88mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9035, 86, 89sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91903adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
92913ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 pythagtriplem10 14344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94933adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9687, 95mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9742, 94, 96sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9837, 92, 42, 97sqrtmuld 13256 . . . . . . . . . . . . . . 15
9979, 98eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . 14
100 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1011003ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1021013ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15
103 nnnn0 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104103nn0ge0d 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1051043ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1061053ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15
107102, 106sqrtsqd 13251 . . . . . . . . . . . . . 14
10899, 107eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . 13
109108oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
11064, 109oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11
11156, 110eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10
112 resqrtth 13089 . . . . . . . . . . . . 13
11337, 92, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
114113oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
115 resqrtth 13089 . . . . . . . . . . . 12
11642, 97, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
117114, 116oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
11850, 111, 1173eqtr4rd 2509 . . . . . . . . 9
11931, 118eqtrd 2498 . . . . . . . 8
120119oveq1d 6311 . . . . . . 7
121 subcl 9842 . . . . . . . . . . 11
1223, 70, 121syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
1231223adant2 1015 . . . . . . . . 9
1241233ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
125 divcan3 10256 . . . . . . . . 9
12614, 15, 125mp3an23 1316 . . . . . . . 8
127124, 126syl 16 . . . . . . 7
128120, 127eqtrd 2498 . . . . . 6
129128oveq1d 6311 . . . . 5
13025, 129eqtr3d 2500 . . . 4
13120, 130syl5eq 2510 . . 3
13218, 131eqtrd 2498 . 2
1332, 132syl5eq 2510 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cexp 12166   csqrt 13066   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  14353  pythagtriplem17  14355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator