MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem16 Unicode version

Theorem pythagtriplem16 14354
Description: Lemma for pythagtrip 14358. Show the relationship between , , and . (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pythagtriplem15.1
pythagtriplem15.2
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem16

Proof of Theorem pythagtriplem16
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem15.1 . . . . 5
2 pythagtriplem15.2 . . . . 5
31, 2oveq12i 6308 . . . 4
4 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
5 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
6 addcl 9595 . . . . . . . . . . . 12
74, 5, 6syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
87sqrtcld 13268 . . . . . . . . . 10
9 subcl 9842 . . . . . . . . . . . 12
104, 5, 9syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
1110sqrtcld 13268 . . . . . . . . . 10
12 addcl 9595 . . . . . . . . . 10
138, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9
14133adant1 1014 . . . . . . . 8
15143ad2ant1 1017 . . . . . . 7
16 subcl 9842 . . . . . . . . . 10
178, 11, 16syl2anc 661 . . . . . . . . 9
18173adant1 1014 . . . . . . . 8
19183ad2ant1 1017 . . . . . . 7
20 2cnne0 10775 . . . . . . . 8
21 divmuldiv 10269 . . . . . . . 8
2220, 20, 21mpanr12 685 . . . . . . 7
2315, 19, 22syl2anc 661 . . . . . 6
2413, 17mulcld 9637 . . . . . . . . 9
25243adant1 1014 . . . . . . . 8
26253ad2ant1 1017 . . . . . . 7
27 divdiv1 10280 . . . . . . . 8
2820, 20, 27mp3an23 1316 . . . . . . 7
2926, 28syl 16 . . . . . 6
3023, 29eqtr4d 2501 . . . . 5
31 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . 13
32 nnre 10568 . . . . . . . . . . . . 13
33 readdcl 9596 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 32, 33syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
35343adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
36353ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
3731adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
3832adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
39 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
41 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
4337, 38, 40, 42addgt0d 10152 . . . . . . . . . . . . 13
44 0re 9617 . . . . . . . . . . . . . 14
45 ltle 9694 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13
4734, 43, 46sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
48473adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
49483ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
50 resqrtth 13089 . . . . . . . . . 10
5136, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9
52 resubcl 9906 . . . . . . . . . . . . 13
5331, 32, 52syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
54533adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
55543ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
56 pythagtriplem10 14344 . . . . . . . . . . . 12
57563adant3 1016 . . . . . . . . . . 11
58 ltle 9694 . . . . . . . . . . . 12
5944, 58mpan 670 . . . . . . . . . . 11
6055, 57, 59sylc 60 . . . . . . . . . 10
61 resqrtth 13089 . . . . . . . . . 10
6255, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6351, 62oveq12d 6314 . . . . . . . 8
6463oveq1d 6311 . . . . . . 7
65 simp12 1027 . . . . . . . . . 10
66 simp13 1028 . . . . . . . . . 10
6765, 66, 8syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6865, 66, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9
69 subsq 12275 . . . . . . . . 9
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8
7170oveq1d 6311 . . . . . . 7
72 pnncan 9883 . . . . . . . . . . . . . 14
73723anidm23 1287 . . . . . . . . . . . . 13
74 2times 10679 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
7673, 75eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . 12
774, 5, 76syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
78773adant1 1014 . . . . . . . . . 10
79783ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
8079oveq1d 6311 . . . . . . . 8
81 2cn 10631 . . . . . . . . . 10
82 2ne0 10653 . . . . . . . . . 10
83 divcan3 10256 . . . . . . . . . 10
8481, 82, 83mp3an23 1316 . . . . . . . . 9
8565, 5, 843syl 20 . . . . . . . 8
8680, 85eqtrd 2498 . . . . . . 7
8764, 71, 863eqtr3d 2506 . . . . . 6
8887oveq1d 6311 . . . . 5
8930, 88eqtrd 2498 . . . 4
903, 89syl5eq 2510 . . 3
9190oveq2d 6312 . 2
92 divcan2 10240 . . . . . 6
9381, 82, 92mp3an23 1316 . . . . 5
945, 93syl 16 . . . 4
95943ad2ant2 1018 . . 3
96953ad2ant1 1017 . 2
9791, 96eqtr2d 2499 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cexp 12166   csqrt 13066   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  14356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator