MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem19 Unicode version

Theorem pythagtriplem19 14357
Description: Lemma for pythagtrip 14358. Introduce and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem19
Distinct variable groups:   , , ,   , , ,   , , ,

Proof of Theorem pythagtriplem19
StepHypRef Expression
1 nnz 10911 . . . . . . 7
2 nnz 10911 . . . . . . 7
31, 2anim12i 566 . . . . . 6
4 nnne0 10593 . . . . . . . . 9
54neneqd 2659 . . . . . . . 8
65intnanrd 917 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
8 gcdn0cl 14152 . . . . . 6
93, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5
1093adant3 1016 . . . 4
11103ad2ant1 1017 . . 3
12 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . 11
131, 2, 12syl2an 477 . . . . . . . . . 10
14133adant3 1016 . . . . . . . . 9
1514simpld 459 . . . . . . . 8
1610nnzd 10993 . . . . . . . . 9
1710nnne0d 10605 . . . . . . . . 9
1813ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9
19 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
2016, 17, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . 8
2115, 20mpbid 210 . . . . . . 7
22 nnre 10568 . . . . . . . . 9
23223ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
2410nnred 10576 . . . . . . . 8
25 nngt0 10590 . . . . . . . . 9
26253ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
2710nngt0d 10604 . . . . . . . 8
2823, 24, 26, 27divgt0d 10506 . . . . . . 7
29 elnnz 10899 . . . . . . 7
3021, 28, 29sylanbrc 664 . . . . . 6
31303ad2ant1 1017 . . . . 5
3214simprd 463 . . . . . . . 8
3323ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
34 dvdsval2 13989 . . . . . . . . 9
3516, 17, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . 8
3632, 35mpbid 210 . . . . . . 7
37 nnre 10568 . . . . . . . . 9
38373ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
39 nngt0 10590 . . . . . . . . 9
40393ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
4138, 24, 40, 27divgt0d 10506 . . . . . . 7
42 elnnz 10899 . . . . . . 7
4336, 41, 42sylanbrc 664 . . . . . 6
44433ad2ant1 1017 . . . . 5
45 dvdssq 14198 . . . . . . . . . . . . . . 15
4616, 18, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
47 dvdssq 14198 . . . . . . . . . . . . . . 15
4816, 33, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13
5014, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
5110nnsqcld 12330 . . . . . . . . . . . . . 14
5251nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . 13
53 nnsqcl 12237 . . . . . . . . . . . . . . 15
54533ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14
5554nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . 13
56 nnsqcl 12237 . . . . . . . . . . . . . . 15
57563ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14
5857nnzd 10993 . . . . . . . . . . . . 13
59 dvds2add 14015 . . . . . . . . . . . . 13
6052, 55, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
6150, 60mpd 15 . . . . . . . . . . 11
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10
63 simpr 461 . . . . . . . . . 10
6462, 63breqtrd 4476 . . . . . . . . 9
65 nnz 10911 . . . . . . . . . . . 12
66653ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11
67 dvdssq 14198 . . . . . . . . . . 11
6816, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
6968adantr 465 . . . . . . . . 9
7064, 69mpbird 232 . . . . . . . 8
71 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . 10
7216, 17, 66, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
7372adantr 465 . . . . . . . 8
7470, 73mpbid 210 . . . . . . 7
75 nnre 10568 . . . . . . . . . 10
76753ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
77 nngt0 10590 . . . . . . . . . 10
78773ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
7976, 24, 78, 27divgt0d 10506 . . . . . . . 8
8079adantr 465 . . . . . . 7
81 elnnz 10899 . . . . . . 7
8274, 80, 81sylanbrc 664 . . . . . 6
83823adant3 1016 . . . . 5
84 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
85843ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
8610nncnd 10577 . . . . . . . . . 10
8785, 86, 17sqdivd 12323 . . . . . . . . 9
88 nncn 10569 . . . . . . . . . . 11
89883ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
9089, 86, 17sqdivd 12323 . . . . . . . . 9
9187, 90oveq12d 6314 . . . . . . . 8
92913ad2ant1 1017 . . . . . . 7
9354nncnd 10577 . . . . . . . . 9
9457nncnd 10577 . . . . . . . . 9
9551nncnd 10577 . . . . . . . . 9
9651nnne0d 10605 . . . . . . . . 9
9793, 94, 95, 96divdird 10383 . . . . . . . 8
98973ad2ant1 1017 . . . . . . 7
9992, 98eqtr4d 2501 . . . . . 6
100 nncn 10569 . . . . . . . . . 10
1011003ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
102101, 86, 17sqdivd 12323 . . . . . . . 8
1031023ad2ant1 1017 . . . . . . 7
104 oveq1 6303 . . . . . . . 8
1051043ad2ant2 1018 . . . . . . 7
106103, 105eqtr4d 2501 . . . . . 6
10799, 106eqtr4d 2501 . . . . 5
108 gcddiv 14187 . . . . . . . 8
10918, 33, 10, 14, 108syl31anc 1231 . . . . . . 7
11086, 17dividd 10343 . . . . . . 7
111109, 110eqtr3d 2500 . . . . . 6
1121113ad2ant1 1017 . . . . 5
113 simp3 998 . . . . 5
114 pythagtriplem18 14356 . . . . 5
11531, 44, 83, 107, 112, 113, 114syl312anc 1249 . . . 4
11685, 86, 17divcan2d 10347 . . . . . . . . . 10
117116eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
11889, 86, 17divcan2d 10347 . . . . . . . . . 10
119118eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
120101, 86, 17divcan2d 10347 . . . . . . . . . 10
121120eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
122117, 119, 1213jca 1176 . . . . . . . 8
1231223ad2ant1 1017 . . . . . . 7
124 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
125124eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
1261253ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
127 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
128127eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
1291283ad2ant2 1018 . . . . . . . 8
130 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10
131130eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
1321313ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
133126, 129, 1323anbi123d 1299 . . . . . . 7
134123, 133syl5ibcom 220 . . . . . 6
135134reximdv 2931 . . . . 5
136135reximdv 2931 . . . 4
137115, 136mpd 15 . . 3
138 oveq1 6303 . . . . . . 7
139138eqeq2d 2471 . . . . . 6
140 oveq1 6303 . . . . . . 7
141140eqeq2d 2471 . . . . . 6
142 oveq1 6303 . . . . . . 7
143142eqeq2d 2471 . . . . . 6
144139, 141, 1433anbi123d 1299 . . . . 5
1451442rexbidv 2975 . . . 4
146145rspcev 3210 . . 3
14711, 137, 146syl2anc 661 . 2
148 rexcom 3019 . . 3
149 rexcom 3019 . . . 4
150149rexbii 2959 . . 3
151148, 150bitri 249 . 2
152147, 151sylib 196 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  pythagtrip  14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
  Copyright terms: Public domain W3C validator