MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem4 Unicode version

Theorem pythagtriplem4 14343
Description: Lemma for pythagtrip 14358. Show that and are relatively prime. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem4

Proof of Theorem pythagtriplem4
StepHypRef Expression
1 simp3r 1025 . . 3
2 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . 13
3 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . 13
4 zsubcl 10931 . . . . . . . . . . . . 13
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12
653adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
763ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
8 simp13 1028 . . . . . . . . . . . 12
9 simp12 1027 . . . . . . . . . . . 12
108, 9nnaddcld 10607 . . . . . . . . . . 11
1110nnzd 10993 . . . . . . . . . 10
12 gcddvds 14153 . . . . . . . . . 10
137, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9
1413simprd 463 . . . . . . . 8
15 breq1 4455 . . . . . . . . 9
1615biimpd 207 . . . . . . . 8
1714, 16mpan9 469 . . . . . . 7
18 simpl13 1073 . . . . . . . . . 10
1918nnzd 10993 . . . . . . . . 9
20 simpl12 1072 . . . . . . . . . 10
2120nnzd 10993 . . . . . . . . 9
2219, 21zaddcld 10998 . . . . . . . 8
2319, 21zsubcld 10999 . . . . . . . 8
24 2z 10921 . . . . . . . . 9
25 dvdsmultr1 14019 . . . . . . . . 9
2624, 25mp3an1 1311 . . . . . . . 8
2722, 23, 26syl2anc 661 . . . . . . 7
2817, 27mpd 15 . . . . . 6
2918nncnd 10577 . . . . . . 7
3020nncnd 10577 . . . . . . 7
31 subsq 12275 . . . . . . 7
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . . 6
3328, 32breqtrrd 4478 . . . . 5
34 simpl2 1000 . . . . . . 7
3534oveq1d 6311 . . . . . 6
36 simpl11 1071 . . . . . . . . 9
3736nnsqcld 12330 . . . . . . . 8
3837nncnd 10577 . . . . . . 7
3920nnsqcld 12330 . . . . . . . 8
4039nncnd 10577 . . . . . . 7
4138, 40pncand 9955 . . . . . 6
4235, 41eqtr3d 2500 . . . . 5
4333, 42breqtrd 4476 . . . 4
44 nnz 10911 . . . . . . . 8
45443ad2ant1 1017 . . . . . . 7
46453ad2ant1 1017 . . . . . 6
4746adantr 465 . . . . 5
48 2prm 14233 . . . . . 6
49 2nn 10718 . . . . . 6
50 prmdvdsexp 14255 . . . . . 6
5148, 49, 50mp3an13 1315 . . . . 5
5247, 51syl 16 . . . 4
5343, 52mpbid 210 . . 3
541, 53mtand 659 . 2
55 neg1z 10925 . . . . . . . . 9
56 gcdaddm 14167 . . . . . . . . 9
5755, 56mp3an1 1311 . . . . . . . 8
587, 11, 57syl2anc 661 . . . . . . 7
598nncnd 10577 . . . . . . . 8
609nncnd 10577 . . . . . . . 8
61 pnncan 9883 . . . . . . . . . . 11
62613anidm23 1287 . . . . . . . . . 10
63 subcl 9842 . . . . . . . . . . . . 13
6463mulm1d 10033 . . . . . . . . . . . 12
6564oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
66 addcl 9595 . . . . . . . . . . . 12
6766, 63negsubd 9960 . . . . . . . . . . 11
6865, 67eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
69 2times 10679 . . . . . . . . . . 11
7069adantl 466 . . . . . . . . . 10
7162, 68, 703eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
7271oveq2d 6312 . . . . . . . 8
7359, 60, 72syl2anc 661 . . . . . . 7
7458, 73eqtrd 2498 . . . . . 6
759nnzd 10993 . . . . . . . . 9
76 zmulcl 10937 . . . . . . . . 9
7724, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . 8
78 gcddvds 14153 . . . . . . . 8
797, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . 7
8079simprd 463 . . . . . 6
8174, 80eqbrtrd 4472 . . . . 5
82 1z 10919 . . . . . . . . 9
83 gcdaddm 14167 . . . . . . . . 9
8482, 83mp3an1 1311 . . . . . . . 8
857, 11, 84syl2anc 661 . . . . . . 7
86 ppncan 9884 . . . . . . . . . . 11
87863anidm13 1286 . . . . . . . . . 10
8863mulid2d 9635 . . . . . . . . . . 11
8988oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
90 2times 10679 . . . . . . . . . . 11
9190adantr 465 . . . . . . . . . 10
9287, 89, 913eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
9359, 60, 92syl2anc 661 . . . . . . . 8
9493oveq2d 6312 . . . . . . 7
9585, 94eqtrd 2498 . . . . . 6
968nnzd 10993 . . . . . . . . 9
97 zmulcl 10937 . . . . . . . . 9
9824, 96, 97sylancr 663 . . . . . . . 8
99 gcddvds 14153 . . . . . . . 8
1007, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . 7
101100simprd 463 . . . . . 6
10295, 101eqbrtrd 4472 . . . . 5
103 nnaddcl 10583 . . . . . . . . . . . . . 14
104103nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . 13
105104ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12
1061053adant1 1014 . . . . . . . . . . 11
1071063ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
108107neneqd 2659 . . . . . . . . 9
109108intnand 916 . . . . . . . 8
110 gcdn0cl 14152 . . . . . . . 8
1117, 11, 109, 110syl21anc 1227 . . . . . . 7
112111nnzd 10993 . . . . . 6
113 dvdsgcd 14181 . . . . . 6
114112, 77, 98, 113syl3anc 1228 . . . . 5
11581, 102, 114mp2and 679 . . . 4
116 2nn0 10837 . . . . . . 7
117 mulgcd 14184 . . . . . . 7
118116, 117mp3an1 1311 . . . . . 6
11975, 96, 118syl2anc 661 . . . . 5
120 pythagtriplem3 14342 . . . . . . 7
121120oveq2d 6312 . . . . . 6
122 2t1e2 10709 . . . . . 6
123121, 122syl6eq 2514 . . . . 5
124119, 123eqtrd 2498 . . . 4
125115, 124breqtrd 4476 . . 3
126 dvdsprime 14230 . . . 4
12748, 111, 126sylancr 663 . . 3
128125, 127mpbid 210 . 2
129 orel1 382 . 2
13054, 128, 129sylc 60 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828  -ucneg 9829   cn 10561  2c2 10610   cn0 10820   cz 10889   cexp 12166   cdvds 13986   cgcd 14144   cprime 14217
This theorem is referenced by:  pythagtriplem6  14345  pythagtriplem7  14346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145  df-prm 14218
  Copyright terms: Public domain W3C validator