MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Unicode version

Theorem qabvle 22615
Description: By using induction on , we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q
qabsabv.a
Assertion
Ref Expression
qabvle

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5661 . . . . 5
2 id 21 . . . . 5
31, 2breq12d 4280 . . . 4
43imbi2d 310 . . 3
5 fveq2 5661 . . . . 5
6 id 21 . . . . 5
75, 6breq12d 4280 . . . 4
87imbi2d 310 . . 3
9 fveq2 5661 . . . . 5
10 id 21 . . . . 5
119, 10breq12d 4280 . . . 4
1211imbi2d 310 . . 3
13 fveq2 5661 . . . . 5
14 id 21 . . . . 5
1513, 14breq12d 4280 . . . 4
1615imbi2d 310 . . 3
17 qabsabv.a . . . . 5
18 qrng.q . . . . . 6
1918qrng0 22611 . . . . 5
2017, 19abv0 16729 . . . 4
21 0le0 10357 . . . 4
2220, 21syl6eqbr 4304 . . 3
23 nn0p1nn 10565 . . . . . . . . . 10
2423ad2antrl 712 . . . . . . . . 9
25 nnq 10911 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8
2718qrngbas 22609 . . . . . . . . 9
2817, 27abvcl 16722 . . . . . . . 8
2926, 28syldan 460 . . . . . . 7
30 nn0z 10614 . . . . . . . . . . 11
3130ad2antrl 712 . . . . . . . . . 10
32 zq 10904 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9
3417, 27abvcl 16722 . . . . . . . . 9
3533, 34syldan 460 . . . . . . . 8
36 peano2re 9488 . . . . . . . 8
3735, 36syl 16 . . . . . . 7
3831zred 10692 . . . . . . . 8
39 peano2re 9488 . . . . . . . 8
4038, 39syl 16 . . . . . . 7
41 simpl 447 . . . . . . . . 9
42 1z 10621 . . . . . . . . . 10
43 zq 10904 . . . . . . . . . 10
4442, 43mp1i 12 . . . . . . . . 9
45 qex 10910 . . . . . . . . . . 11
46 cnfldadd 17533 . . . . . . . . . . . 12
4718, 46ressplusg 14220 . . . . . . . . . . 11
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
4917, 27, 48abvtri 16728 . . . . . . . . 9
5041, 33, 44, 49syl3anc 1203 . . . . . . . 8
51 ax-1ne0 9297 . . . . . . . . . . 11
5218qrng1 22612 . . . . . . . . . . . 12
5317, 52, 19abv1z 16730 . . . . . . . . . . 11
5451, 53mpan2 656 . . . . . . . . . 10
5554adantr 455 . . . . . . . . 9
5655oveq2d 6077 . . . . . . . 8
5750, 56breqtrd 4291 . . . . . . 7
58 1red 9347 . . . . . . . 8
59 simprr 741 . . . . . . . 8
6035, 38, 58, 59leadd1dd 9899 . . . . . . 7
6129, 37, 40, 57, 60letrd 9474 . . . . . 6
6261expr 602 . . . . 5
6362expcom 428 . . . 4
6463a2d 25 . . 3
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 10683 . 2
6665impcom 423 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 362  =wceq 1687  e.wcel 1749  =/=wne 2585   cvv 2951   class class class wbr 4267  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cr 9227  0cc0 9228  1c1 9229   caddc 9231   cle 9365   cn 10268   cn0 10525   cz 10591   cq 10898   cress 14115   cplusg 14178   cabv 16714   ccnfld 17528
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  22624  ostth2  22627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305  ax-addf 9307  ax-mulf 9308
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-int 4104  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-tpos 6707  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-1o 6881  df-oadd 6885  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-fin 7273  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-div 9940  df-nn 10269  df-2 10326  df-3 10327  df-4 10328  df-5 10329  df-6 10330  df-7 10331  df-8 10332  df-9 10333  df-10 10334  df-n0 10526  df-z 10592  df-dec 10701  df-uz 10807  df-q 10899  df-ico 11251  df-fz 11382  df-struct 14116  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-ress 14121  df-plusg 14191  df-mulr 14192  df-starv 14193  df-tset 14197  df-ple 14198  df-ds 14200  df-unif 14201  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-subg 15615  df-cmn 16216  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-cring 16473  df-ur 16474  df-oppr 16538  df-dvdsr 16556  df-unit 16557  df-invr 16587  df-dvr 16598  df-drng 16647  df-subrg 16676  df-abv 16715  df-cnfld 17529
  Copyright terms: Public domain W3C validator