MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Unicode version

Theorem qabvle 23274
Description: By using induction on , we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q
qabsabv.a
Assertion
Ref Expression
qabvle

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5813 . . . . 5
2 id 22 . . . . 5
31, 2breq12d 4422 . . . 4
43imbi2d 316 . . 3
5 fveq2 5813 . . . . 5
6 id 22 . . . . 5
75, 6breq12d 4422 . . . 4
87imbi2d 316 . . 3
9 fveq2 5813 . . . . 5
10 id 22 . . . . 5
119, 10breq12d 4422 . . . 4
1211imbi2d 316 . . 3
13 fveq2 5813 . . . . 5
14 id 22 . . . . 5
1513, 14breq12d 4422 . . . 4
1615imbi2d 316 . . 3
17 qabsabv.a . . . . 5
18 qrng.q . . . . . 6
1918qrng0 23270 . . . . 5
2017, 19abv0 17092 . . . 4
21 0le0 10549 . . . 4
2220, 21syl6eqbr 4446 . . 3
23 nn0p1nn 10757 . . . . . . . . . 10
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
25 nnq 11105 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8
2718qrngbas 23268 . . . . . . . . 9
2817, 27abvcl 17085 . . . . . . . 8
2926, 28syldan 470 . . . . . . 7
30 nn0z 10807 . . . . . . . . . . 11
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
32 zq 11098 . . . . . . . . . 10
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9
3417, 27abvcl 17085 . . . . . . . . 9
3533, 34syldan 470 . . . . . . . 8
36 peano2re 9679 . . . . . . . 8
3735, 36syl 16 . . . . . . 7
3831zred 10885 . . . . . . . 8
39 peano2re 9679 . . . . . . . 8
4038, 39syl 16 . . . . . . 7
41 simpl 457 . . . . . . . . 9
42 1z 10814 . . . . . . . . . 10
43 zq 11098 . . . . . . . . . 10
4442, 43mp1i 12 . . . . . . . . 9
45 qex 11104 . . . . . . . . . . 11
46 cnfldadd 18016 . . . . . . . . . . . 12
4718, 46ressplusg 14439 . . . . . . . . . . 11
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
4917, 27, 48abvtri 17091 . . . . . . . . 9
5041, 33, 44, 49syl3anc 1219 . . . . . . . 8
51 ax-1ne0 9488 . . . . . . . . . . 11
5218qrng1 23271 . . . . . . . . . . . 12
5317, 52, 19abv1z 17093 . . . . . . . . . . 11
5451, 53mpan2 671 . . . . . . . . . 10
5554adantr 465 . . . . . . . . 9
5655oveq2d 6238 . . . . . . . 8
5750, 56breqtrd 4433 . . . . . . 7
58 1red 9538 . . . . . . . 8
59 simprr 756 . . . . . . . 8
6035, 38, 58, 59leadd1dd 10090 . . . . . . 7
6129, 37, 40, 57, 60letrd 9665 . . . . . 6
6261expr 615 . . . . 5
6362expcom 435 . . . 4
6463a2d 26 . . 3
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 10876 . 2
6665impcom 430 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   cvv 3081   class class class wbr 4409  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cle 9556   cn 10460   cn0 10717   cz 10784   cq 11092   cress 14333   cplusg 14397   cabv 17077   ccnfld 18011
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  23283  ostth2  23286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496  ax-addf 9498  ax-mulf 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-tpos 6879  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-q 11093  df-ico 11445  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-ress 14339  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-starv 14412  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-unif 14420  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-subg 15837  df-cmn 16440  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-cring 16824  df-oppr 16891  df-dvdsr 16909  df-unit 16910  df-invr 16940  df-dvr 16951  df-drng 17010  df-subrg 17039  df-abv 17078  df-cnfld 18012
  Copyright terms: Public domain W3C validator