MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaddcl Unicode version

Theorem qaddcl 11227
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11213 . 2
2 elq 11213 . 2
3 nnz 10911 . . . . . . . . . . . 12
4 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . . 12
53, 4sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
65ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . 10
7 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
8 nnz 10911 . . . . . . . . . . . 12
98adantl 466 . . . . . . . . . . 11
10 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . 11
117, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . . . 10
126, 11zaddcld 10998 . . . . . . . . 9
1312adantr 465 . . . . . . . 8
14 nnmulcl 10584 . . . . . . . . . 10
1514ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9
1615adantr 465 . . . . . . . 8
17 oveq12 6305 . . . . . . . . 9
18 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
19 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
21 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
22 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22jca 532 . . . . . . . . . . . 12
24 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
25 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25jca 532 . . . . . . . . . . . 12
2723, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
28 divadddiv 10284 . . . . . . . . . . 11
2920, 27, 28syl2an 477 . . . . . . . . . 10
3029an4s 826 . . . . . . . . 9
3117, 30sylan9eqr 2520 . . . . . . . 8
32 rspceov 6336 . . . . . . . . 9
33 elq 11213 . . . . . . . . 9
3432, 33sylibr 212 . . . . . . . 8
3513, 16, 31, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7
3635an4s 826 . . . . . 6
3736exp43 612 . . . . 5
3837rexlimivv 2954 . . . 4
3938rexlimdvv 2955 . . 3
4039imp 429 . 2
411, 2, 40syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513   caddc 9516   cmul 9518   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211
This theorem is referenced by:  qsubcl  11230  qrevaddcl  11233  pcaddlem  14407  pcadd2  14409  qsubdrg  18470  vitalilem1  22017  qaa  22719  padicabv  23815  ostth3  23823  mblfinlem1  30051  rmxyadd  30857  mpaaeu  31099  aacllem  33216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-q 11212
  Copyright terms: Public domain W3C validator