MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnre Unicode version

Theorem qbtwnre 11427
Description: The rational numbers are dense in : any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 10070 . . . 4
2 resubcl 9906 . . . . . . 7
3 nnrecl 10818 . . . . . . 7
42, 3sylan 471 . . . . . 6
54ex 434 . . . . 5
65ancoms 453 . . . 4
71, 6sylbid 215 . . 3
8 nnre 10568 . . . . . . . . 9
98adantl 466 . . . . . . . 8
10 simplr 755 . . . . . . . 8
119, 10remulcld 9645 . . . . . . 7
12 peano2rem 9909 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
14 zbtwnre 11209 . . . . . 6
15 reurex 3074 . . . . . 6
1613, 14, 153syl 20 . . . . 5
17 znq 11215 . . . . . . . . . . 11
1817ancoms 453 . . . . . . . . . 10
1918adantl 466 . . . . . . . . 9
20 an32 798 . . . . . . . . . 10
218ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 22remulcld 9645 . . . . . . . . . . . . 13
2413adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13
25 zre 10893 . . . . . . . . . . . . . 14
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13
27 ltletr 9697 . . . . . . . . . . . . 13
2823, 24, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
2921recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3222recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3329, 31, 32subdid 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . 15
35 1red 9632 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3630, 22resubcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 ltdivmul 10442 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4035, 36, 21, 38, 39syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . 15
4111adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42 ltsub13 10058 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4323, 41, 35, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
4434, 40, 433bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . 14
4544anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13
46 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12
48 ltmuldiv2 10441 . . . . . . . . . . . . 13
4922, 26, 21, 38, 48syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12
5028, 47, 493imtr3d 267 . . . . . . . . . . 11
5141recnd 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15
53 npcan 9852 . . . . . . . . . . . . . . 15
5451, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
5554breq2d 4464 . . . . . . . . . . . . 13
56 ltdivmul 10442 . . . . . . . . . . . . . 14
5726, 30, 21, 38, 56syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . 13
5855, 57bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12
5958biimpd 207 . . . . . . . . . . 11
6050, 59anim12d 563 . . . . . . . . . 10
6120, 60syl5bi 217 . . . . . . . . 9
62 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
63 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
6564rspcev 3210 . . . . . . . . 9
6619, 61, 65syl6an 545 . . . . . . . 8
6766expd 436 . . . . . . 7
6867expr 615 . . . . . 6
6968rexlimdv 2947 . . . . 5
7016, 69mpd 15 . . . 4
7170rexlimdva 2949 . . 3
727, 71syld 44 . 2
73723impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  E!wreu 2809   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  11428  qsqueeze  11429  nmoleub2lem3  21598  mbfaddlem  22067  rpnnen3lem  30973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212
  Copyright terms: Public domain W3C validator