MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qbtwnxr Unicode version

Theorem qbtwnxr 11428
Description: The rational numbers are dense in : any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnxr
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem qbtwnxr
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . . 3
2 elxr 11354 . . . . 5
3 qbtwnre 11427 . . . . . . 7
433expia 1198 . . . . . 6
5 simpl 457 . . . . . . . . 9
6 peano2re 9774 . . . . . . . . . 10
76adantr 465 . . . . . . . . 9
8 ltp1 10405 . . . . . . . . . 10
98adantr 465 . . . . . . . . 9
10 qbtwnre 11427 . . . . . . . . 9
115, 7, 9, 10syl3anc 1228 . . . . . . . 8
12 qre 11216 . . . . . . . . . . . . . 14
13 ltpnf 11360 . . . . . . . . . . . . . 14
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
16 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . 11
1817a1d 25 . . . . . . . . . 10
1918anim2d 565 . . . . . . . . 9
2019reximdva 2932 . . . . . . . 8
2111, 20mpd 15 . . . . . . 7
2221a1d 25 . . . . . 6
23 rexr 9660 . . . . . . 7
24 breq2 4456 . . . . . . . . 9
2524adantl 466 . . . . . . . 8
26 nltmnf 11367 . . . . . . . . . 10
2726adantr 465 . . . . . . . . 9
2827pm2.21d 106 . . . . . . . 8
2925, 28sylbid 215 . . . . . . 7
3023, 29sylan 471 . . . . . 6
314, 22, 303jaodan 1294 . . . . 5
322, 31sylan2b 475 . . . 4
33 breq1 4455 . . . . . 6
3433adantr 465 . . . . 5
35 pnfnlt 11366 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
3736pm2.21d 106 . . . . 5
3834, 37sylbid 215 . . . 4
39 peano2rem 9909 . . . . . . . . . 10
4039adantl 466 . . . . . . . . 9
41 simpr 461 . . . . . . . . 9
42 ltm1 10407 . . . . . . . . . 10
4342adantl 466 . . . . . . . . 9
44 qbtwnre 11427 . . . . . . . . 9
4540, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . 8
46 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
4712adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
48 mnflt 11362 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5046, 49eqbrtrd 4472 . . . . . . . . . . 11
5150a1d 25 . . . . . . . . . 10
5251anim1d 564 . . . . . . . . 9
5352reximdva 2932 . . . . . . . 8
5445, 53mpd 15 . . . . . . 7
5554a1d 25 . . . . . 6
56 1re 9616 . . . . . . . . . 10
57 mnflt 11362 . . . . . . . . . 10
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9
59 breq1 4455 . . . . . . . . 9
6058, 59mpbiri 233 . . . . . . . 8
61 ltpnf 11360 . . . . . . . . . 10
6256, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9
63 breq2 4456 . . . . . . . . 9
6462, 63mpbiri 233 . . . . . . . 8
65 1z 10919 . . . . . . . . . 10
66 zq 11217 . . . . . . . . . 10
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . 9
68 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
69 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
7068, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
7170rspcev 3210 . . . . . . . . 9
7267, 71mpan 670 . . . . . . . 8
7360, 64, 72syl2an 477 . . . . . . 7
7473a1d 25 . . . . . 6
75 3mix3 1167 . . . . . . . 8
7675, 1sylibr 212 . . . . . . 7
7776, 29sylan 471 . . . . . 6
7855, 74, 773jaodan 1294 . . . . 5
792, 78sylan2b 475 . . . 4
8032, 38, 793jaoian 1293 . . 3
811, 80sylanb 472 . 2
82813impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   caddc 9516   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649   cmin 9828   cz 10889   cq 11211
This theorem is referenced by:  qextltlem  11430  xralrple  11433  ixxub  11579  ixxlb  11580  ioo0  11583  ico0  11604  ioc0  11605  blssps  20927  blss  20928  blcld  21008  qdensere  21277  tgqioo  21305  dvlip2  22396  lhop2  22416  itgsubst  22450  itg2gt0cn  30070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212
  Copyright terms: Public domain W3C validator