Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qnnen Unicode version

Theorem qnnen 13947
 Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. For purposes of the Metamath 100 list, we are considering Mario Carneiro's revision as the date this proof was completed. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
qnnen

Proof of Theorem qnnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 8084 . . . . . . 7
2 nnenom 12090 . . . . . . . 8
32ensymi 7585 . . . . . . 7
4 isnumi 8348 . . . . . . 7
51, 3, 4mp2an 672 . . . . . 6
6 znnen 13946 . . . . . . 7
7 ennum 8349 . . . . . . 7
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6
95, 8mpbir 209 . . . . 5
10 xpnum 8353 . . . . 5
119, 5, 10mp2an 672 . . . 4
12 eqid 2457 . . . . . 6
13 ovex 6324 . . . . . 6
1412, 13fnmpt2i 6869 . . . . 5
1512rnmpt2 6412 . . . . . 6
16 elq 11213 . . . . . . 7
1716abbi2i 2590 . . . . . 6
1815, 17eqtr4i 2489 . . . . 5
19 df-fo 5599 . . . . 5
2014, 18, 19mpbir2an 920 . . . 4
21 fodomnum 8459 . . . 4
2211, 20, 21mp2 9 . . 3
23 nnex 10567 . . . . . 6
2423enref 7568 . . . . 5
25 xpen 7700 . . . . 5
266, 24, 25mp2an 672 . . . 4
27 xpnnen 13942 . . . 4
2826, 27entri 7589 . . 3
29 domentr 7594 . . 3
3022, 28, 29mp2an 672 . 2
31 qex 11223 . . 3
32 nnssq 11220 . . 3
33 ssdomg 7581 . . 3
3431, 32, 33mp2 9 . 2
35 sbth 7657 . 2
3630, 34, 35mp2an 672 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452   con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298   com 6700   cen 7533   cdom 7534   ccrd 8337   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211 This theorem is referenced by:  rpnnen  13960  resdomq  13977  re2ndc  21306  ovolq  21902  opnmblALT  22012  vitali  22022  mbfimaopnlem  22062  mbfaddlem  22067  mblfinlem1  30051  irrapx1  30764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212
 Copyright terms: Public domain W3C validator