Theorem qnnen 13947

Description: The rational numbers are countable. This proof does not use the Axiom of Choice, even though it uses an onto function, because the base set is numerable. Exercise 2 of [Enderton] p. 133. For purposes of the Metamath 100 list, we are considering Mario Carneiro's revision as the date this proof was completed. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8084	. . . . . . 7
2		nnenom 12090	. . . . . . . 8
3	2	ensymi 7585	. . . . . . 7
4		isnumi 8348	. . . . . . 7
5	1, 3, 4	mp2an 672	. . . . . 6
6		znnen 13946	. . . . . . 7
7		ennum 8349	. . . . . . 7
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6
9	5, 8	mpbir 209	. . . . 5
10		xpnum 8353	. . . . 5
11	9, 5, 10	mp2an 672	. . . 4
12		eqid 2457	. . . . . 6
13		ovex 6324	. . . . . 6
14	12, 13	fnmpt2i 6869	. . . . 5
15	12	rnmpt2 6412	. . . . . 6
16		elq 11213	. . . . . . 7
17	16	abbi2i 2590	. . . . . 6
18	15, 17	eqtr4i 2489	. . . . 5
19		df-fo 5599	. . . . 5
20	14, 18, 19	mpbir2an 920	. . . 4
21		fodomnum 8459	. . . 4
22	11, 20, 21	mp2 9	. . 3
23		nnex 10567	. . . . . 6
24	23	enref 7568	. . . . 5
25		xpen 7700	. . . . 5
26	6, 24, 25	mp2an 672	. . . 4
27		xpnnen 13942	. . . 4
28	26, 27	entri 7589	. . 3
29		domentr 7594	. . 3
30	22, 28, 29	mp2an 672	. 2
31		qex 11223	. . 3
32		nnssq 11220	. . 3
33		ssdomg 7581	. . 3
34	31, 32, 33	mp2 9	. 2
35		sbth 7657	. 2
36	30, 34, 35	mp2an 672	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475   class class class wbr 4452  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -onto->wfo 5591  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  com 6700  cen 7533  cdom 7534  ccrd 8337  cdiv 10231  cn 10561  cz 10889  cq 11211

This theorem is referenced by:  rpnnen  13960  resdomq  13977  re2ndc  21306  ovolq  21902  opnmblALT  22012  vitali  22022  mbfimaopnlem  22062  mbfaddlem  22067  mblfinlem1  30051  irrapx1  30764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212