MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qreccl Unicode version

Theorem qreccl 11231
Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 11213 . . 3
2 nnne0 10593 . . . . . . 7
32ancli 551 . . . . . 6
4 neeq1 2738 . . . . . . . . . 10
5 zcn 10894 . . . . . . . . . . . . 13
6 nncn 10569 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12
8 divne0b 10243 . . . . . . . . . . . . 13
983expa 1196 . . . . . . . . . . . 12
107, 9sylan 471 . . . . . . . . . . 11
1110bicomd 201 . . . . . . . . . 10
124, 11sylan9bbr 700 . . . . . . . . 9
13 nnz 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 zmulcl 10937 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1513, 14sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
17 msqznn 10969 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14
1916, 18jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
2019adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
22 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
23 divid 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 divdivdiv 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3026, 27, 27, 28, 29syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3125, 30eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3231an4s 826 . . . . . . . . . . . . . . 15
337, 32sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
3433anass1rs 807 . . . . . . . . . . . . 13
3522, 34sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . 12
3635an32s 804 . . . . . . . . . . 11
3721, 36jca 532 . . . . . . . . . 10
3837ex 434 . . . . . . . . 9
3912, 38sylbid 215 . . . . . . . 8
4039ex 434 . . . . . . 7
4140anasss 647 . . . . . 6
423, 41sylan2 474 . . . . 5
43 rspceov 6336 . . . . . . 7
44433expa 1196 . . . . . 6
45 elq 11213 . . . . . 6
4644, 45sylibr 212 . . . . 5
4742, 46syl8 70 . . . 4
4847rexlimivv 2954 . . 3
491, 48sylbi 195 . 2
5049imp 429 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   cdiv 10231   cn 10561   cz 10889   cq 11211
This theorem is referenced by:  qdivcl  11232  qexpclz  12187  qsubdrg  18470  mpaaeu  31099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-q 11212
  Copyright terms: Public domain W3C validator