Theorem qredeq 14247

Description: Two equal reduced fractions have the same numerator and denominator. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qredeq

Proof of Theorem qredeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 10894	. . . . . . . . . 10
2	1	adantr 465	. . . . . . . . 9
3		nncn 10569	. . . . . . . . . 10
4	3	adantl 466	. . . . . . . . 9
5		nnne0 10593	. . . . . . . . . 10
6	5	adantl 466	. . . . . . . . 9
7	2, 4, 6	divcld 10345	. . . . . . . 8
8	7	3adant3 1016	. . . . . . 7
9	8	adantr 465	. . . . . 6
10		zcn 10894	. . . . . . . . . 10
11	10	adantr 465	. . . . . . . . 9
12		nncn 10569	. . . . . . . . . 10
13	12	adantl 466	. . . . . . . . 9
14		nnne0 10593	. . . . . . . . . 10
15	14	adantl 466	. . . . . . . . 9
16	11, 13, 15	divcld 10345	. . . . . . . 8
17	16	3adant3 1016	. . . . . . 7
18	17	adantl 466	. . . . . 6
19	3	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7
20	19	adantr 465	. . . . . 6
21	5	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7
22	21	adantr 465	. . . . . 6
23	9, 18, 20, 22	mulcand 10207	. . . . 5
24	2, 4, 6	divcan2d 10347	. . . . . . . 8
25	24	3adant3 1016	. . . . . . 7
26	25	adantr 465	. . . . . 6
27	26	eqeq1d 2459	. . . . 5
28	23, 27	bitr3d 255	. . . 4
29	1	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7
30	29	adantr 465	. . . . . 6
31		mulcl 9597	. . . . . . 7
32	19, 17, 31	syl2an 477	. . . . . 6
33	12	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7
34	33	adantl 466	. . . . . 6
35	14	3ad2ant2 1018	. . . . . . 7
36	35	adantl 466	. . . . . 6
37	30, 32, 34, 36	mulcan2d 10208	. . . . 5
38	20, 18, 34	mulassd 9640	. . . . . . 7
39	11, 13, 15	divcan1d 10346	. . . . . . . . . 10
40	39	3adant3 1016	. . . . . . . . 9
41	40	adantl 466	. . . . . . . 8
42	41	oveq2d 6312	. . . . . . 7
43	38, 42	eqtrd 2498	. . . . . 6
44	43	eqeq2d 2471	. . . . 5
45	37, 44	bitr3d 255	. . . 4
46	28, 45	bitrd 253	. . 3
47		nnz 10911	. . . . . . . . . 10
48	47	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . 9
49		simp2 997	. . . . . . . . 9
50	48, 49	anim12i 566	. . . . . . . 8
51	50	adantr 465	. . . . . . 7
52	48	adantr 465	. . . . . . . . . 10
53		simpl1 999	. . . . . . . . . 10
54		nnz 10911	. . . . . . . . . . . 12
55	54	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . 10
57	52, 53, 56	3jca 1176	. . . . . . . . 9
58	57	adantr 465	. . . . . . . 8
59		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12
60		dvdsmul1 14005	. . . . . . . . . . . 12
61	48, 59, 60	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
62	61	adantr 465	. . . . . . . . . 10
63		simpr 461	. . . . . . . . . 10
64	62, 63	breqtrrd 4478	. . . . . . . . 9
65		gcdcom 14158	. . . . . . . . . . . . . 14
66	47, 65	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12
68	67	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11
69		simp3 998	. . . . . . . . . . 11
70	68, 69	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
71	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9
72	64, 71	jca 532	. . . . . . . 8
73		coprmdvds 14243	. . . . . . . 8
74	58, 72, 73	sylc 60	. . . . . . 7
75		dvdsle 14031	. . . . . . 7
76	51, 74, 75	sylc 60	. . . . . 6
77		simp2 997	. . . . . . . . . 10
78	55, 77	anim12i 566	. . . . . . . . 9
79	78	ancoms 453	. . . . . . . 8
80	79	adantr 465	. . . . . . 7
81		simpr1 1002	. . . . . . . . . 10
82	56, 81, 52	3jca 1176	. . . . . . . . 9
83	82	adantr 465	. . . . . . . 8
84		simp1 996	. . . . . . . . . . . 12
85		dvdsmul2 14006	. . . . . . . . . . . 12
86	84, 55, 85	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
87	86	adantr 465	. . . . . . . . . 10
88	10	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13
89		mulcom 9599	. . . . . . . . . . . . 13
90	19, 88, 89	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
92	63, 91	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
93	87, 92	breqtrd 4476	. . . . . . . . 9
94		gcdcom 14158	. . . . . . . . . . . . . 14
95	54, 94	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13
96	95	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12
97	96	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11
98		simp3 998	. . . . . . . . . . 11
99	97, 98	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10
100	99	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9
101	93, 100	jca 532	. . . . . . . 8
102		coprmdvds 14243	. . . . . . . 8
103	83, 101, 102	sylc 60	. . . . . . 7
104		dvdsle 14031	. . . . . . 7
105	80, 103, 104	sylc 60	. . . . . 6
106		nnre 10568	. . . . . . . . 9
107	106	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8
108	107	ad2antrr 725	. . . . . . 7
109		nnre 10568	. . . . . . . . 9
110	109	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8
111	110	ad2antlr 726	. . . . . . 7
112	108, 111	letri3d 9748	. . . . . 6
113	76, 105, 112	mpbir2and 922	. . . . 5
114		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
115	114	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9
116	115	anbi2d 703	. . . . . . . 8
117		mulcom 9599	. . . . . . . . . . . . . 14
118	1, 3, 117	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
119	118	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12
120	119	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
121	120	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . 10
122	88	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
123	30, 122, 20, 22	mulcand 10207	. . . . . . . . . 10
124	121, 123	bitrd 253	. . . . . . . . 9
125	124	biimpa 484	. . . . . . . 8
126	116, 125	syl6bir 229	. . . . . . 7
127	126	com12 31	. . . . . 6
128	127	ancrd 554	. . . . 5
129	113, 128	mpd 15	. . . 4
130	129	ex 434	. . 3
131	46, 130	sylbid 215	. 2
132	131	3impia 1193	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561  cz 10889  cdvds 13986  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  qredeu  14248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145