MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qredeu Unicode version

Theorem qredeu 14248
Description: Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
qredeu
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem qredeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 10911 . . . . . . . . . 10
2 gcddvds 14153 . . . . . . . . . . 11
32simpld 459 . . . . . . . . . 10
41, 3sylan2 474 . . . . . . . . 9
5 gcdcl 14155 . . . . . . . . . . . 12
61, 5sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
76nn0zd 10992 . . . . . . . . . 10
8 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12
91adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
10 nnne0 10593 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110neneqd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14
1211intnand 916 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
14 gcdn0cl 14152 . . . . . . . . . . . 12
158, 9, 13, 14syl21anc 1227 . . . . . . . . . . 11
16 nnne0 10593 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
18 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . 10
197, 17, 8, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
204, 19mpbid 210 . . . . . . . 8
21203adant3 1016 . . . . . . 7
222simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
231, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
24 dvdsval2 13989 . . . . . . . . . . . 12
257, 17, 9, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2623, 25mpbid 210 . . . . . . . . . 10
27 nnre 10568 . . . . . . . . . . . 12
2827adantl 466 . . . . . . . . . . 11
296nn0red 10878 . . . . . . . . . . 11
30 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . 12
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11
32 nngt0 10590 . . . . . . . . . . . 12
3315, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11
3428, 29, 31, 33divgt0d 10506 . . . . . . . . . 10
3526, 34jca 532 . . . . . . . . 9
36353adant3 1016 . . . . . . . 8
37 elnnz 10899 . . . . . . . 8
3836, 37sylibr 212 . . . . . . 7
39 opelxpi 5036 . . . . . . 7
4021, 38, 39syl2anc 661 . . . . . 6
4120, 26gcdcld 14156 . . . . . . . . 9
4241nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
43 1cnd 9633 . . . . . . . 8
446nn0cnd 10879 . . . . . . . 8
4544mulid1d 9634 . . . . . . . . 9
46 zcn 10894 . . . . . . . . . . . 12
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4847, 44, 17divcan2d 10347 . . . . . . . . . 10
49 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
5049adantl 466 . . . . . . . . . . 11
5150, 44, 17divcan2d 10347 . . . . . . . . . 10
5248, 51oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
53 mulgcd 14184 . . . . . . . . . 10
546, 20, 26, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
5545, 52, 543eqtr2rd 2505 . . . . . . . 8
5642, 43, 44, 17, 55mulcanad 10209 . . . . . . 7
57563adant3 1016 . . . . . 6
5810adantl 466 . . . . . . . . 9
5947, 50, 44, 58, 17divcan7d 10373 . . . . . . . 8
6059eqeq2d 2471 . . . . . . 7
6160biimp3ar 1329 . . . . . 6
62 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
63 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
6462, 63op1std 6810 . . . . . . . . . 10
6562, 63op2ndd 6811 . . . . . . . . . 10
6664, 65oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
6766eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
6864, 65oveq12d 6314 . . . . . . . . 9
6968eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
7067, 69anbi12d 710 . . . . . . 7
7170rspcev 3210 . . . . . 6
7240, 57, 61, 71syl12anc 1226 . . . . 5
73 elxp6 6832 . . . . . . 7
74 elxp6 6832 . . . . . . 7
75 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
77 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
79 simprll 763 . . . . . . . . . . 11
80 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
8180ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
82 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
84 simprrl 765 . . . . . . . . . . 11
85 simprlr 764 . . . . . . . . . . . 12
86 simprrr 766 . . . . . . . . . . . 12
8785, 86eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11
88 qredeq 14247 . . . . . . . . . . 11
8976, 78, 79, 81, 83, 84, 87, 88syl331anc 1253 . . . . . . . . . 10
90 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
91 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
9290, 91opth 4726 . . . . . . . . . 10
9389, 92sylibr 212 . . . . . . . . 9
94 simplll 759 . . . . . . . . 9
95 simplrl 761 . . . . . . . . 9
9693, 94, 953eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
9796ex 434 . . . . . . 7
9873, 74, 97syl2anb 479 . . . . . 6
9998rgen2a 2884 . . . . 5
10072, 99jctir 538 . . . 4
1011003expia 1198 . . 3
102101rexlimivv 2954 . 2
103 elq 11213 . 2
104 fveq2 5871 . . . . . 6
105 fveq2 5871 . . . . . 6
106104, 105oveq12d 6314 . . . . 5
107106eqeq1d 2459 . . . 4
108104, 105oveq12d 6314 . . . . 5
109108eqeq2d 2471 . . . 4
110107, 109anbi12d 710 . . 3
111110reu4 3293 . 2
112102, 103, 1113imtr4i 266 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cq 11211   cdvds 13986   cgcd 14144
This theorem is referenced by:  qnumdencl  14272  qnumdenbi  14277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145
  Copyright terms: Public domain W3C validator