Theorem qredeu 14248

Description: Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qredeu

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem qredeu

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 10911	. . . . . . . . . 10
2		gcddvds 14153	. . . . . . . . . . 11
3	2	simpld 459	. . . . . . . . . 10
4	1, 3	sylan2 474	. . . . . . . . 9
5		gcdcl 14155	. . . . . . . . . . . 12
6	1, 5	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11
7	6	nn0zd 10992	. . . . . . . . . 10
8		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12
9	1	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
10		nnne0 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	neneqd 2659	. . . . . . . . . . . . . 14
12	11	intnand 916	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
14		gcdn0cl 14152	. . . . . . . . . . . 12
15	8, 9, 13, 14	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . 11
16		nnne0 10593	. . . . . . . . . . 11
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . 10
18		dvdsval2 13989	. . . . . . . . . 10
19	7, 17, 8, 18	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
20	4, 19	mpbid 210	. . . . . . . 8
21	20	3adant3 1016	. . . . . . 7
22	2	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12
23	1, 22	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11
24		dvdsval2 13989	. . . . . . . . . . . 12
25	7, 17, 9, 24	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
26	23, 25	mpbid 210	. . . . . . . . . 10
27		nnre 10568	. . . . . . . . . . . 12
28	27	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
29	6	nn0red 10878	. . . . . . . . . . 11
30		nngt0 10590	. . . . . . . . . . . 12
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
32		nngt0 10590	. . . . . . . . . . . 12
33	15, 32	syl 16	. . . . . . . . . . 11
34	28, 29, 31, 33	divgt0d 10506	. . . . . . . . . 10
35	26, 34	jca 532	. . . . . . . . 9
36	35	3adant3 1016	. . . . . . . 8
37		elnnz 10899	. . . . . . . 8
38	36, 37	sylibr 212	. . . . . . 7
39		opelxpi 5036	. . . . . . 7
40	21, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . 6
41	20, 26	gcdcld 14156	. . . . . . . . 9
42	41	nn0cnd 10879	. . . . . . . 8
43		1cnd 9633	. . . . . . . 8
44	6	nn0cnd 10879	. . . . . . . 8
45	44	mulid1d 9634	. . . . . . . . 9
46		zcn 10894	. . . . . . . . . . . 12
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
48	47, 44, 17	divcan2d 10347	. . . . . . . . . 10
49		nncn 10569	. . . . . . . . . . . 12
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . 11
51	50, 44, 17	divcan2d 10347	. . . . . . . . . 10
52	48, 51	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
53		mulgcd 14184	. . . . . . . . . 10
54	6, 20, 26, 53	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9
55	45, 52, 54	3eqtr2rd 2505	. . . . . . . 8
56	42, 43, 44, 17, 55	mulcanad 10209	. . . . . . 7
57	56	3adant3 1016	. . . . . 6
58	10	adantl 466	. . . . . . . . 9
59	47, 50, 44, 58, 17	divcan7d 10373	. . . . . . . 8
60	59	eqeq2d 2471	. . . . . . 7
61	60	biimp3ar 1329	. . . . . 6
62		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
63		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
64	62, 63	op1std 6810	. . . . . . . . . 10
65	62, 63	op2ndd 6811	. . . . . . . . . 10
66	64, 65	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
67	66	eqeq1d 2459	. . . . . . . 8
68	64, 65	oveq12d 6314	. . . . . . . . 9
69	68	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
70	67, 69	anbi12d 710	. . . . . . 7
71	70	rspcev 3210	. . . . . 6
72	40, 57, 61, 71	syl12anc 1226	. . . . 5
73		elxp6 6832	. . . . . . 7
74		elxp6 6832	. . . . . . 7
75		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12
76	75	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
77		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
78	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
79		simprll 763	. . . . . . . . . . 11
80		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12
81	80	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11
82		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12
83	82	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11
84		simprrl 765	. . . . . . . . . . 11
85		simprlr 764	. . . . . . . . . . . 12
86		simprrr 766	. . . . . . . . . . . 12
87	85, 86	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . 11
88		qredeq 14247	. . . . . . . . . . 11
89	76, 78, 79, 81, 83, 84, 87, 88	syl331anc 1253	. . . . . . . . . 10
90		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
91		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
92	90, 91	opth 4726	. . . . . . . . . 10
93	89, 92	sylibr 212	. . . . . . . . 9
94		simplll 759	. . . . . . . . 9
95		simplrl 761	. . . . . . . . 9
96	93, 94, 95	3eqtr4d 2508	. . . . . . . 8
97	96	ex 434	. . . . . . 7
98	73, 74, 97	syl2anb 479	. . . . . 6
99	98	rgen2a 2884	. . . . 5
100	72, 99	jctir 538	. . . 4
101	100	3expia 1198	. . 3
102	101	rexlimivv 2954	. 2
103		elq 11213	. 2
104		fveq2 5871	. . . . . 6
105		fveq2 5871	. . . . . 6
106	104, 105	oveq12d 6314	. . . . 5
107	106	eqeq1d 2459	. . . 4
108	104, 105	oveq12d 6314	. . . . 5
109	108	eqeq2d 2471	. . . 4
110	107, 109	anbi12d 710	. . 3
111	110	reu4 3293	. 2
112	102, 103, 111	3imtr4i 266	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  E!wreu 2809  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  clt 9649  cdiv 10231  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  cq 11211  cdvds 13986  cgcd 14144

This theorem is referenced by:  qnumdencl  14272  qnumdenbi  14277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250  df-fl 11929  df-mod 11997  df-seq 12108  df-exp 12167  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-dvds 13987  df-gcd 14145