Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quoremz Unicode version

Theorem quoremz 11982
 Description: Quotient and remainder of an integer divided by a positive integer. TO DO - is this really needed for anything? Should we use to simplify it? (Contributed by NM, 14-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
quorem.1
quorem.2
Assertion
Ref Expression
quoremz

Proof of Theorem quoremz
StepHypRef Expression
1 quorem.1 . . 3
2 zre 10893 . . . . . 6
32adantr 465 . . . . 5
4 nnre 10568 . . . . . 6
54adantl 466 . . . . 5
6 nnne0 10593 . . . . . 6
76adantl 466 . . . . 5
83, 5, 7redivcld 10397 . . . 4
98flcld 11935 . . 3
101, 9syl5eqel 2549 . 2
11 quorem.2 . . 3
1210zcnd 10995 . . . . . . 7
13 nncn 10569 . . . . . . . 8
1413adantl 466 . . . . . . 7
1512, 14, 7divcan3d 10350 . . . . . 6
16 flle 11936 . . . . . . . 8
178, 16syl 16 . . . . . . 7
181, 17syl5eqbr 4485 . . . . . 6
1915, 18eqbrtrd 4472 . . . . 5
20 nnz 10911 . . . . . . . . 9
2120adantl 466 . . . . . . . 8
2221, 10zmulcld 11000 . . . . . . 7
2322zred 10994 . . . . . 6
24 nngt0 10590 . . . . . . 7
2524adantl 466 . . . . . 6
26 lediv1 10432 . . . . . 6
2723, 3, 5, 25, 26syl112anc 1232 . . . . 5
2819, 27mpbird 232 . . . 4
29 simpl 457 . . . . 5
30 znn0sub 10936 . . . . 5
3122, 29, 30syl2anc 661 . . . 4
3228, 31mpbid 210 . . 3
3311, 32syl5eqel 2549 . 2
341oveq2i 6307 . . . . . 6
35 fraclt1 11939 . . . . . . 7
368, 35syl 16 . . . . . 6
3734, 36syl5eqbr 4485 . . . . 5
3811oveq1i 6306 . . . . . 6
39 zcn 10894 . . . . . . . . 9
4039adantr 465 . . . . . . . 8
4122zcnd 10995 . . . . . . . 8
4213, 6jca 532 . . . . . . . . 9
4342adantl 466 . . . . . . . 8
44 divsubdir 10265 . . . . . . . 8
4540, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . 7
4615oveq2d 6312 . . . . . . 7
4745, 46eqtrd 2498 . . . . . 6
4838, 47syl5eq 2510 . . . . 5
4913, 6dividd 10343 . . . . . 6
5049adantl 466 . . . . 5
5137, 48, 503brtr4d 4482 . . . 4
5233nn0red 10878 . . . . 5
53 ltdiv1 10431 . . . . 5
5452, 5, 5, 25, 53syl112anc 1232 . . . 4
5551, 54mpbird 232 . . 3
5611oveq2i 6307 . . . 4
5741, 40pncan3d 9957 . . . 4
5856, 57syl5req 2511 . . 3
5955, 58jca 532 . 2
6010, 33, 59jca31 534 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1`c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cdiv 10231   cn 10561   cn0 10820   cz 10889   cfl 11927 This theorem is referenced by:  quoremnn0  11983 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fl 11929
 Copyright terms: Public domain W3C validator